Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27029 / 7285
↖ ↑ ↗
← N 80.068476°
W 31.525268°		 ← 105.34 m → N 80.068476°
W 31.519775°		 →
↑
105.31 m
↓
↑
105.31 m
↓
N 80.067529°
W 31.525268°		 ← 105.35 m →
11 094 m²		 N 80.067529°
W 31.519775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412437438964844 y=0.111167907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412437438964844 × 216)
    floor (0.412437438964844 × 65536)
    floor (27029.5)     		tx = 27029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111167907714844 × 216)
    floor (0.111167907714844 × 65536)
    floor (7285.5)     		ty = 7285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27029 / 7285 ti = "16/27029/7285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27029/7285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27029 ÷ 216
    27029 ÷ 65536     		x = 0.412429809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7285 ÷ 216
    7285 ÷ 65536     		y = 0.111160278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412429809570312 × 2 - 1) × π
    -0.175140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55021973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111160278320312 × 2 - 1) × π
    0.777679443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44315202603578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55021973} λ = -0.55021973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44315202603578))-π/2
    2×atan(11.509261119723)-π/2
    2×1.48412743444892-π/2
    2.96825486889785-1.57079632675     		φ = 1.39745854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55021973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.525268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39745854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.068476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27029 KachelY 7285 -0.55021973 1.39745854 -31.525268 80.068476
    Oben rechts KachelX + 1 27030 KachelY 7285 -0.55012386 1.39745854 -31.519775 80.068476
    Unten links KachelX 27029 KachelY + 1 7286 -0.55021973 1.39744201 -31.525268 80.067529
    Unten rechts KachelX + 1 27030 KachelY + 1 7286 -0.55012386 1.39744201 -31.519775 80.067529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39745854-1.39744201) × R
    1.65299999999036e-05 × 6371000     		dl = 105.312629999386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39745854-1.39744201) × R
    1.65299999999036e-05 × 6371000     		dr = 105.312629999386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55021973--0.55012386) × cos(1.39745854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172471072364735 × 6371000     		do = 105.343221679163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55021973--0.55012386) × cos(1.39744201) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172487354632232 × 6371000     		du = 105.353166689018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39745854)-sin(1.39744201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172471072364735-0.172487354632232)×R²
    abs(-0.55012386--0.55021973)×1.62822674970586e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.62822674970586e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.62822674970586e-05×40589641000000     		ar = 11094.4953955153m²