Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27029 / 25030
↖ ↑ ↗
← S 68.423434°
E116.949463°		 ← 449.23 m → S 68.423434°
E116.960449°		 →
↑
449.22 m
↓
↑
449.22 m
↓
S 68.427474°
E116.949463°		 ← 449.15 m →
201 784 m²		 S 68.427474°
E116.960449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824874877929688 y=0.763870239257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824874877929688 × 215)
    floor (0.824874877929688 × 32768)
    floor (27029.5)     		tx = 27029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763870239257812 × 215)
    floor (0.763870239257812 × 32768)
    floor (25030.5)     		ty = 25030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27029 / 25030 ti = "15/27029/25030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27029/25030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27029 ÷ 215
    27029 ÷ 32768     		x = 0.824859619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25030 ÷ 215
    25030 ÷ 32768     		y = 0.76385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824859619140625 × 2 - 1) × π
    0.64971923828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04115319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76385498046875 × 2 - 1) × π
    -0.5277099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65784973646002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04115319} λ = 2.04115319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65784973646002))-π/2
    2×atan(0.190548268899651)-π/2
    2×0.188291059273205-π/2
    0.37658211854641-1.57079632675     		φ = -1.19421421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04115319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.949463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19421421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.423434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27029 KachelY 25030 2.04115319 -1.19421421 116.949463 -68.423434
    Oben rechts KachelX + 1 27030 KachelY 25030 2.04134493 -1.19421421 116.960449 -68.423434
    Unten links KachelX 27029 KachelY + 1 25031 2.04115319 -1.19428472 116.949463 -68.427474
    Unten rechts KachelX + 1 27030 KachelY + 1 25031 2.04134493 -1.19428472 116.960449 -68.427474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19421421--1.19428472) × R
    7.05100000000236e-05 × 6371000     		dl = 449.21921000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19421421--1.19428472) × R
    7.05100000000236e-05 × 6371000     		dr = 449.21921000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04115319-2.04134493) × cos(-1.19421421) × R
    0.000191739999999996 × 0.367744241801183 × 6371000     		do = 449.227370760161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04115319-2.04134493) × cos(-1.19428472) × R
    0.000191739999999996 × 0.367678671736316 × 6371000     		du = 449.147271972763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19421421)-sin(-1.19428472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367744241801183-0.367678671736316)×R²
    abs(2.04134493-2.04115319)×6.5570064867182e-05×R²
    0.000191739999999996×6.5570064867182e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.5570064867182e-05×40589641000000     		ar = 201783.573729223m²