Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27029 / 25021
↖ ↑ ↗
← S 68.387043°
E116.949463°		 ← 449.95 m → S 68.387043°
E116.960449°		 →
↑
449.92 m
↓
↑
449.92 m
↓
S 68.391089°
E116.949463°		 ← 449.87 m →
202 423 m²		 S 68.391089°
E116.960449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824874877929688 y=0.763595581054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824874877929688 × 215)
    floor (0.824874877929688 × 32768)
    floor (27029.5)     		tx = 27029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763595581054688 × 215)
    floor (0.763595581054688 × 32768)
    floor (25021.5)     		ty = 25021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27029 / 25021 ti = "15/27029/25021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27029/25021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27029 ÷ 215
    27029 ÷ 32768     		x = 0.824859619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25021 ÷ 215
    25021 ÷ 32768     		y = 0.763580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824859619140625 × 2 - 1) × π
    0.64971923828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04115319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763580322265625 × 2 - 1) × π
    -0.52716064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6561240080737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04115319} λ = 2.04115319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6561240080737))-π/2
    2×atan(0.19087738735911)-π/2
    2×0.188608627340456-π/2
    0.377217254680912-1.57079632675     		φ = -1.19357907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04115319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.949463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19357907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.387043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27029 KachelY 25021 2.04115319 -1.19357907 116.949463 -68.387043
    Oben rechts KachelX + 1 27030 KachelY 25021 2.04134493 -1.19357907 116.960449 -68.387043
    Unten links KachelX 27029 KachelY + 1 25022 2.04115319 -1.19364969 116.949463 -68.391089
    Unten rechts KachelX + 1 27030 KachelY + 1 25022 2.04134493 -1.19364969 116.960449 -68.391089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19357907--1.19364969) × R
    7.06200000000212e-05 × 6371000     		dl = 449.920020000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19357907--1.19364969) × R
    7.06200000000212e-05 × 6371000     		dr = 449.920020000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04115319-2.04134493) × cos(-1.19357907) × R
    0.000191739999999996 × 0.368334801403724 × 6371000     		do = 449.948783925537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04115319-2.04134493) × cos(-1.19364969) × R
    0.000191739999999996 × 0.368269145550456 × 6371000     		du = 449.868580341127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19357907)-sin(-1.19364969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368334801403724-0.368269145550456)×R²
    abs(2.04134493-2.04115319)×6.5655853267732e-05×R²
    0.000191739999999996×6.5655853267732e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.5655853267732e-05×40589641000000     		ar = 202422.923347927m²