Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27028 / 7283
↖ ↑ ↗
← N 80.070371°
W 31.530762°		 ← 105.33 m → N 80.070371°
W 31.525268°		 →
↑
105.31 m
↓
↑
105.31 m
↓
N 80.069424°
W 31.530762°		 ← 105.34 m →
11 094 m²		 N 80.069424°
W 31.525268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412422180175781 y=0.111137390136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412422180175781 × 216)
    floor (0.412422180175781 × 65536)
    floor (27028.5)     		tx = 27028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111137390136719 × 216)
    floor (0.111137390136719 × 65536)
    floor (7283.5)     		ty = 7283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27028 / 7283 ti = "16/27028/7283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27028/7283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27028 ÷ 216
    27028 ÷ 65536     		x = 0.41241455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7283 ÷ 216
    7283 ÷ 65536     		y = 0.111129760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41241455078125 × 2 - 1) × π
    -0.1751708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55031561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111129760742188 × 2 - 1) × π
    0.777740478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44334377363426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55031561} λ = -0.55031561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44334377363426))-π/2
    2×atan(11.5114682044978)-π/2
    2×1.48414396834423-π/2
    2.96828793668845-1.57079632675     		φ = 1.39749161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55031561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.530762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39749161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.070371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27028 KachelY 7283 -0.55031561 1.39749161 -31.530762 80.070371
    Oben rechts KachelX + 1 27029 KachelY 7283 -0.55021973 1.39749161 -31.525268 80.070371
    Unten links KachelX 27028 KachelY + 1 7284 -0.55031561 1.39747508 -31.530762 80.069424
    Unten rechts KachelX + 1 27029 KachelY + 1 7284 -0.55021973 1.39747508 -31.525268 80.069424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39749161-1.39747508) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dl = 105.3126300008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39749161-1.39747508) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dr = 105.3126300008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55031561--0.55021973) × cos(1.39749161) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.172438497838164 × 6371000     		do = 105.33431161335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55031561--0.55021973) × cos(1.39747508) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.172454780199937 × 6371000     		du = 105.344257718137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39749161)-sin(1.39747508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172438497838164-0.172454780199937)×R²
    abs(-0.55021973--0.55031561)×1.62823617736452e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.62823617736452e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.62823617736452e-05×40589641000000     		ar = 11093.5571110468m²