Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27028 / 5459
↖ ↑ ↗
← N 81.657295°
W 31.530762°		 ← 88.63 m → N 81.657295°
W 31.525268°		 →
↑
88.68 m
↓
↑
88.68 m
↓
N 81.656497°
W 31.530762°		 ← 88.64 m →
7 861 m²		 N 81.656497°
W 31.525268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412422180175781 y=0.0833053588867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412422180175781 × 216)
    floor (0.412422180175781 × 65536)
    floor (27028.5)     		tx = 27028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0833053588867188 × 216)
    floor (0.0833053588867188 × 65536)
    floor (5459.5)     		ty = 5459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27028 / 5459 ti = "16/27028/5459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27028/5459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27028 ÷ 216
    27028 ÷ 65536     		x = 0.41241455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5459 ÷ 216
    5459 ÷ 65536     		y = 0.0832977294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41241455078125 × 2 - 1) × π
    -0.1751708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55031561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0832977294921875 × 2 - 1) × π
    0.833404541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.61821758344823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55031561} λ = -0.55031561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61821758344823))-π/2
    2×atan(13.7112626103085)-π/2
    2×1.49799248633099-π/2
    2.99598497266198-1.57079632675     		φ = 1.42518865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55031561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.530762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42518865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.657295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27028 KachelY 5459 -0.55031561 1.42518865 -31.530762 81.657295
    Oben rechts KachelX + 1 27029 KachelY 5459 -0.55021973 1.42518865 -31.525268 81.657295
    Unten links KachelX 27028 KachelY + 1 5460 -0.55031561 1.42517473 -31.530762 81.656497
    Unten rechts KachelX + 1 27029 KachelY + 1 5460 -0.55021973 1.42517473 -31.525268 81.656497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42518865-1.42517473) × R
    1.39200000000006e-05 × 6371000     		dl = 88.6843200000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42518865-1.42517473) × R
    1.39200000000006e-05 × 6371000     		dr = 88.6843200000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55031561--0.55021973) × cos(1.42518865) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145093702772494 × 6371000     		do = 88.6307030771998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55031561--0.55021973) × cos(1.42517473) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145107475455861 × 6371000     		du = 88.6391161412185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42518865)-sin(1.42517473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145093702772494-0.145107475455861)×R²
    abs(-0.55021973--0.55031561)×1.3772683367691e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.3772683367691e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.3772683367691e-05×40589641000000     		ar = 7860.52668721633m²