Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27027 / 9333
↖ ↑ ↗
← N 77.928312°
W 31.536255°		 ← 127.74 m → N 77.928312°
W 31.530762°		 →
↑
127.74 m
↓
↑
127.74 m
↓
N 77.927164°
W 31.536255°		 ← 127.75 m →
16 318 m²		 N 77.927164°
W 31.530762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412406921386719 y=0.142417907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412406921386719 × 216)
    floor (0.412406921386719 × 65536)
    floor (27027.5)     		tx = 27027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142417907714844 × 216)
    floor (0.142417907714844 × 65536)
    floor (9333.5)     		ty = 9333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27027 / 9333 ti = "16/27027/9333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27027/9333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27027 ÷ 216
    27027 ÷ 65536     		x = 0.412399291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9333 ÷ 216
    9333 ÷ 65536     		y = 0.142410278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412399291992188 × 2 - 1) × π
    -0.175201416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55041148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142410278320312 × 2 - 1) × π
    0.715179443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24680248519203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55041148} λ = -0.55041148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24680248519203))-π/2
    2×atan(9.4574471106584)-π/2
    2×1.46545097994016-π/2
    2.93090195988032-1.57079632675     		φ = 1.36010563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55041148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.536255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36010563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.928312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27027 KachelY 9333 -0.55041148 1.36010563 -31.536255 77.928312
    Oben rechts KachelX + 1 27028 KachelY 9333 -0.55031561 1.36010563 -31.530762 77.928312
    Unten links KachelX 27027 KachelY + 1 9334 -0.55041148 1.36008558 -31.536255 77.927164
    Unten rechts KachelX + 1 27028 KachelY + 1 9334 -0.55031561 1.36008558 -31.530762 77.927164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36010563-1.36008558) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dl = 127.738550000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36010563-1.36008558) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dr = 127.738550000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55041148--0.55031561) × cos(1.36010563) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209135372886345 × 6371000     		do = 127.737328033367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55041148--0.55031561) × cos(1.36008558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20915497947262 × 6371000     		du = 127.749303496474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36010563)-sin(1.36008558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209135372886345-0.20915497947262)×R²
    abs(-0.55031561--0.55041148)×1.96065862744232e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.96065862744232e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.96065862744232e-05×40589641000000     		ar = 16317.7459284001m²