Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27026 / 6922
↖ ↑ ↗
← N 80.406557°
W 31.541748°		 ← 101.80 m → N 80.406557°
W 31.536255°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
N 80.405641°
W 31.541748°		 ← 101.81 m →
10 365 m²		 N 80.405641°
W 31.536255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412391662597656 y=0.105628967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412391662597656 × 216)
    floor (0.412391662597656 × 65536)
    floor (27026.5)     		tx = 27026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105628967285156 × 216)
    floor (0.105628967285156 × 65536)
    floor (6922.5)     		ty = 6922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27026 / 6922 ti = "16/27026/6922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27026/6922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27026 ÷ 216
    27026 ÷ 65536     		x = 0.412384033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6922 ÷ 216
    6922 ÷ 65536     		y = 0.105621337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412384033203125 × 2 - 1) × π
    -0.17523193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55050736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105621337890625 × 2 - 1) × π
    0.78875732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47795421515994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55050736} λ = -0.55050736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47795421515994))-π/2
    2×atan(11.9168601316028)-π/2
    2×1.4870777440815-π/2
    2.974155488163-1.57079632675     		φ = 1.40335916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55050736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.541748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40335916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.406557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27026 KachelY 6922 -0.55050736 1.40335916 -31.541748 80.406557
    Oben rechts KachelX + 1 27027 KachelY 6922 -0.55041148 1.40335916 -31.536255 80.406557
    Unten links KachelX 27026 KachelY + 1 6923 -0.55050736 1.40334318 -31.541748 80.405641
    Unten rechts KachelX + 1 27027 KachelY + 1 6923 -0.55041148 1.40334318 -31.536255 80.405641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40335916-1.40334318) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dl = 101.808579999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40335916-1.40334318) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dr = 101.808579999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55050736--0.55041148) × cos(1.40335916) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.166655906860793 × 6371000     		do = 101.802007356709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55050736--0.55041148) × cos(1.40334318) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.166671663361065 × 6371000     		du = 101.81163223822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40335916)-sin(1.40334318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166655906860793-0.166671663361065)×R²
    abs(-0.55041148--0.55050736)×1.57565002720517e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.57565002720517e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.57565002720517e-05×40589641000000     		ar = 10364.8077582091m²