Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27026 / 25036
↖ ↑ ↗
← S 68.447662°
E116.916504°		 ← 448.77 m → S 68.447662°
E116.927490°		 →
↑
448.71 m
↓
↑
448.71 m
↓
S 68.451698°
E116.916504°		 ← 448.69 m →
201 350 m²		 S 68.451698°
E116.927490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824783325195312 y=0.764053344726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824783325195312 × 215)
    floor (0.824783325195312 × 32768)
    floor (27026.5)     		tx = 27026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764053344726562 × 215)
    floor (0.764053344726562 × 32768)
    floor (25036.5)     		ty = 25036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27026 / 25036 ti = "15/27026/25036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27026/25036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27026 ÷ 215
    27026 ÷ 32768     		x = 0.82476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25036 ÷ 215
    25036 ÷ 32768     		y = 0.7640380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82476806640625 × 2 - 1) × π
    0.6495361328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04057794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7640380859375 × 2 - 1) × π
    -0.528076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6590002220509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04057794} λ = 2.04057794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6590002220509))-π/2
    2×atan(0.190329171920041)-π/2
    2×0.18807963017365-π/2
    0.376159260347299-1.57079632675     		φ = -1.19463707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04057794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.916504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19463707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.447662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27026 KachelY 25036 2.04057794 -1.19463707 116.916504 -68.447662
    Oben rechts KachelX + 1 27027 KachelY 25036 2.04076969 -1.19463707 116.927490 -68.447662
    Unten links KachelX 27026 KachelY + 1 25037 2.04057794 -1.19470750 116.916504 -68.451698
    Unten rechts KachelX + 1 27027 KachelY + 1 25037 2.04076969 -1.19470750 116.927490 -68.451698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19463707--1.19470750) × R
    7.04300000000657e-05 × 6371000     		dl = 448.709530000419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19463707--1.19470750) × R
    7.04300000000657e-05 × 6371000     		dr = 448.709530000419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04057794-2.04076969) × cos(-1.19463707) × R
    0.000191749999999935 × 0.367350980015386 × 6371000     		do = 448.770375712608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04057794-2.04076969) × cos(-1.19470750) × R
    0.000191749999999935 × 0.36728547340141 × 6371000     		du = 448.690350261842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19463707)-sin(-1.19470750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367350980015386-0.36728547340141)×R²
    abs(2.04076969-2.04057794)×6.55066139751415e-05×R²
    0.000191749999999935×6.55066139751415e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.55066139751415e-05×40589641000000     		ar = 201349.590356435m²