Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27024 / 7597
↖ ↑ ↗
← N 79.768488°
W 31.552734°		 ← 108.49 m → N 79.768488°
W 31.547241°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
N 79.767512°
W 31.552734°		 ← 108.50 m →
11 772 m²		 N 79.767512°
W 31.547241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412361145019531 y=0.115928649902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412361145019531 × 216)
    floor (0.412361145019531 × 65536)
    floor (27024.5)     		tx = 27024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115928649902344 × 216)
    floor (0.115928649902344 × 65536)
    floor (7597.5)     		ty = 7597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27024 / 7597 ti = "16/27024/7597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27024/7597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27024 ÷ 216
    27024 ÷ 65536     		x = 0.412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7597 ÷ 216
    7597 ÷ 65536     		y = 0.115921020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.17529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55069910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115921020507812 × 2 - 1) × π
    0.768157958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41323940067287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55069910} λ = -0.55069910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41323940067287))-π/2
    2×atan(11.1700869877386)-π/2
    2×1.48150953692987-π/2
    2.96301907385975-1.57079632675     		φ = 1.39222275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55069910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39222275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.768488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27024 KachelY 7597 -0.55069910 1.39222275 -31.552734 79.768488
    Oben rechts KachelX + 1 27025 KachelY 7597 -0.55060323 1.39222275 -31.547241 79.768488
    Unten links KachelX 27024 KachelY + 1 7598 -0.55069910 1.39220572 -31.552734 79.767512
    Unten rechts KachelX + 1 27025 KachelY + 1 7598 -0.55060323 1.39220572 -31.547241 79.767512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39222275-1.39220572) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dl = 108.498129999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39222275-1.39220572) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dr = 108.498129999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55069910--0.55060323) × cos(1.39222275) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177626014293943 × 6371000     		do = 108.491797164583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55069910--0.55060323) × cos(1.39220572) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17764277345821 × 6371000     		du = 108.502033457153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39222275)-sin(1.39220572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177626014293943-0.17764277345821)×R²
    abs(-0.55060323--0.55069910)×1.67591642669385e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67591642669385e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67591642669385e-05×40589641000000     		ar = 11771.7124221131m²