Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27023 / 6637
↖ ↑ ↗
← N 80.663981°
W 31.558228°		 ← 99.09 m → N 80.663981°
W 31.552734°		 →
↑
99.07 m
↓
↑
99.07 m
↓
N 80.663090°
W 31.558228°		 ← 99.10 m →
9 818 m²		 N 80.663090°
W 31.552734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412345886230469 y=0.101280212402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412345886230469 × 216)
    floor (0.412345886230469 × 65536)
    floor (27023.5)     		tx = 27023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101280212402344 × 216)
    floor (0.101280212402344 × 65536)
    floor (6637.5)     		ty = 6637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27023 / 6637 ti = "16/27023/6637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27023/6637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27023 ÷ 216
    27023 ÷ 65536     		x = 0.412338256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6637 ÷ 216
    6637 ÷ 65536     		y = 0.101272583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412338256835938 × 2 - 1) × π
    -0.175323486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55079498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101272583007812 × 2 - 1) × π
    0.797454833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50527824794337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55079498} λ = -0.55079498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50527824794337))-π/2
    2×atan(12.2469661849067)-π/2
    2×1.48932419436886-π/2
    2.97864838873772-1.57079632675     		φ = 1.40785206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55079498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.558228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40785206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.663981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27023 KachelY 6637 -0.55079498 1.40785206 -31.558228 80.663981
    Oben rechts KachelX + 1 27024 KachelY 6637 -0.55069910 1.40785206 -31.552734 80.663981
    Unten links KachelX 27023 KachelY + 1 6638 -0.55079498 1.40783651 -31.558228 80.663090
    Unten rechts KachelX + 1 27024 KachelY + 1 6638 -0.55069910 1.40783651 -31.552734 80.663090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40785206-1.40783651) × R
    1.55499999998643e-05 × 6371000     		dl = 99.0690499991353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40785206-1.40783651) × R
    1.55499999998643e-05 × 6371000     		dr = 99.0690499991353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55079498--0.55069910) × cos(1.40785206) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.162224172383284 × 6371000     		do = 99.0948757921541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55079498--0.55069910) × cos(1.40783651) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.162239516387278 × 6371000     		du = 99.1042486997029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40785206)-sin(1.40783651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162224172383284-0.162239516387278)×R²
    abs(-0.55069910--0.55079498)×1.5344003993889e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.5344003993889e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.5344003993889e-05×40589641000000     		ar = 9817.69948714216m²