Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27022 / 25035
↖ ↑ ↗
← S 68.443626°
E116.872558°		 ← 448.85 m → S 68.443626°
E116.883545°		 →
↑
448.84 m
↓
↑
448.84 m
↓
S 68.447662°
E116.872558°		 ← 448.77 m →
201 443 m²		 S 68.447662°
E116.883545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824661254882812 y=0.764022827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824661254882812 × 215)
    floor (0.824661254882812 × 32768)
    floor (27022.5)     		tx = 27022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764022827148438 × 215)
    floor (0.764022827148438 × 32768)
    floor (25035.5)     		ty = 25035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27022 / 25035 ti = "15/27022/25035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27022/25035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27022 ÷ 215
    27022 ÷ 32768     		x = 0.82464599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25035 ÷ 215
    25035 ÷ 32768     		y = 0.764007568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82464599609375 × 2 - 1) × π
    0.6492919921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03981095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764007568359375 × 2 - 1) × π
    -0.52801513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65880847445242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03981095} λ = 2.03981095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65880847445242))-π/2
    2×atan(0.19036567058083)-π/2
    2×0.188114852648759-π/2
    0.376229705297519-1.57079632675     		φ = -1.19456662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03981095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.872558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19456662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.443626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27022 KachelY 25035 2.03981095 -1.19456662 116.872558 -68.443626
    Oben rechts KachelX + 1 27023 KachelY 25035 2.04000270 -1.19456662 116.883545 -68.443626
    Unten links KachelX 27022 KachelY + 1 25036 2.03981095 -1.19463707 116.872558 -68.447662
    Unten rechts KachelX + 1 27023 KachelY + 1 25036 2.04000270 -1.19463707 116.883545 -68.447662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19456662--1.19463707) × R
    7.04499999999442e-05 × 6371000     		dl = 448.836949999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19456662--1.19463707) × R
    7.04499999999442e-05 × 6371000     		dr = 448.836949999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03981095-2.04000270) × cos(-1.19456662) × R
    0.000191749999999935 × 0.367416503408289 × 6371000     		do = 448.850421661172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03981095-2.04000270) × cos(-1.19463707) × R
    0.000191749999999935 × 0.367350980015386 × 6371000     		du = 448.770375712608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19456662)-sin(-1.19463707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367416503408289-0.367350980015386)×R²
    abs(2.04000270-2.03981095)×6.55233929031107e-05×R²
    0.000191749999999935×6.55233929031107e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.55233929031107e-05×40589641000000     		ar = 201442.690557338m²