Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27020 / 7284
↖ ↑ ↗
← N 80.069424°
W 31.574707°		 ← 105.34 m → N 80.069424°
W 31.569214°		 →
↑
105.38 m
↓
↑
105.38 m
↓
N 80.068476°
W 31.574707°		 ← 105.35 m →
11 101 m²		 N 80.068476°
W 31.569214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412300109863281 y=0.111152648925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412300109863281 × 216)
    floor (0.412300109863281 × 65536)
    floor (27020.5)     		tx = 27020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111152648925781 × 216)
    floor (0.111152648925781 × 65536)
    floor (7284.5)     		ty = 7284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27020 / 7284 ti = "16/27020/7284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27020/7284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27020 ÷ 216
    27020 ÷ 65536     		x = 0.41229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7284 ÷ 216
    7284 ÷ 65536     		y = 0.11114501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41229248046875 × 2 - 1) × π
    -0.1754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55108260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11114501953125 × 2 - 1) × π
    0.7777099609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44324789983502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55108260} λ = -0.55108260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44324789983502))-π/2
    2×atan(11.51036460921)-π/2
    2×1.48413570178693-π/2
    2.96827140357386-1.57079632675     		φ = 1.39747508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55108260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.574707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39747508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.069424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27020 KachelY 7284 -0.55108260 1.39747508 -31.574707 80.069424
    Oben rechts KachelX + 1 27021 KachelY 7284 -0.55098672 1.39747508 -31.569214 80.069424
    Unten links KachelX 27020 KachelY + 1 7285 -0.55108260 1.39745854 -31.574707 80.068476
    Unten rechts KachelX + 1 27021 KachelY + 1 7285 -0.55098672 1.39745854 -31.569214 80.068476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39747508-1.39745854) × R
    1.65400000000648e-05 × 6371000     		dl = 105.376340000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39747508-1.39745854) × R
    1.65400000000648e-05 × 6371000     		dr = 105.376340000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55108260--0.55098672) × cos(1.39747508) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.172454780199937 × 6371000     		do = 105.344257718137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55108260--0.55098672) × cos(1.39745854) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.172471072364735 × 6371000     		du = 105.354209811116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39747508)-sin(1.39745854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172454780199937-0.172471072364735)×R²
    abs(-0.55098672--0.55108260)×1.62921647977043e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.62921647977043e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.62921647977043e-05×40589641000000     		ar = 11101.3166761477m²