Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27020 / 6925
↖ ↑ ↗
← N 80.403810°
W 31.574707°		 ← 101.83 m → N 80.403810°
W 31.569214°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
N 80.402895°
W 31.574707°		 ← 101.84 m →
10 368 m²		 N 80.402895°
W 31.569214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412300109863281 y=0.105674743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412300109863281 × 216)
    floor (0.412300109863281 × 65536)
    floor (27020.5)     		tx = 27020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105674743652344 × 216)
    floor (0.105674743652344 × 65536)
    floor (6925.5)     		ty = 6925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27020 / 6925 ti = "16/27020/6925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27020/6925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27020 ÷ 216
    27020 ÷ 65536     		x = 0.41229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6925 ÷ 216
    6925 ÷ 65536     		y = 0.105667114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41229248046875 × 2 - 1) × π
    -0.1754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55108260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105667114257812 × 2 - 1) × π
    0.788665771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47766659376222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55108260} λ = -0.55108260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47766659376222))-π/2
    2×atan(11.9134330805056)-π/2
    2×1.48705377378045-π/2
    2.9741075475609-1.57079632675     		φ = 1.40331122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55108260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.574707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40331122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.403810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27020 KachelY 6925 -0.55108260 1.40331122 -31.574707 80.403810
    Oben rechts KachelX + 1 27021 KachelY 6925 -0.55098672 1.40331122 -31.569214 80.403810
    Unten links KachelX 27020 KachelY + 1 6926 -0.55108260 1.40329524 -31.574707 80.402895
    Unten rechts KachelX + 1 27021 KachelY + 1 6926 -0.55098672 1.40329524 -31.569214 80.402895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40331122-1.40329524) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dl = 101.808579999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40331122-1.40329524) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dr = 101.808579999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55108260--0.55098672) × cos(1.40331122) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.166703176233922 × 6371000     		do = 101.830881923125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55108260--0.55098672) × cos(1.40329524) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.166718932606498 × 6371000     		du = 101.840506726633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40331122)-sin(1.40329524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166703176233922-0.166718932606498)×R²
    abs(-0.55098672--0.55108260)×1.5756372575948e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.5756372575948e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.5756372575948e-05×40589641000000     		ar = 10367.7474327935m²