Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27020 / 6910
↖ ↑ ↗
← N 80.417537°
W 31.574707°		 ← 101.69 m → N 80.417537°
W 31.569214°		 →
↑
101.68 m
↓
↑
101.68 m
↓
N 80.416622°
W 31.574707°		 ← 101.70 m →
10 340 m²		 N 80.416622°
W 31.569214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412300109863281 y=0.105445861816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412300109863281 × 216)
    floor (0.412300109863281 × 65536)
    floor (27020.5)     		tx = 27020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105445861816406 × 216)
    floor (0.105445861816406 × 65536)
    floor (6910.5)     		ty = 6910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27020 / 6910 ti = "16/27020/6910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27020/6910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27020 ÷ 216
    27020 ÷ 65536     		x = 0.41229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6910 ÷ 216
    6910 ÷ 65536     		y = 0.105438232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41229248046875 × 2 - 1) × π
    -0.1754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55108260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105438232421875 × 2 - 1) × π
    0.78912353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47910470075082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55108260} λ = -0.55108260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47910470075082))-π/2
    2×atan(11.9305781971781)-π/2
    2×1.48717355733451-π/2
    2.97434711466901-1.57079632675     		φ = 1.40355079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55108260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.574707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40355079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.417537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27020 KachelY 6910 -0.55108260 1.40355079 -31.574707 80.417537
    Oben rechts KachelX + 1 27021 KachelY 6910 -0.55098672 1.40355079 -31.569214 80.417537
    Unten links KachelX 27020 KachelY + 1 6911 -0.55108260 1.40353483 -31.574707 80.416622
    Unten rechts KachelX + 1 27021 KachelY + 1 6911 -0.55098672 1.40353483 -31.569214 80.416622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40355079-1.40353483) × R
    1.59600000000371e-05 × 6371000     		dl = 101.681160000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40355079-1.40353483) × R
    1.59600000000371e-05 × 6371000     		dr = 101.681160000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55108260--0.55098672) × cos(1.40355079) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.166466953725323 × 6371000     		do = 101.686585054139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55108260--0.55098672) × cos(1.40353483) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.166482691014784 × 6371000     		du = 101.696198200697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40355079)-sin(1.40353483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166466953725323-0.166482691014784)×R²
    abs(-0.55098672--0.55108260)×1.57372894611096e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.57372894611096e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.57372894611096e-05×40589641000000     		ar = 10340.0986627266m²