Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27020 / 6908
↖ ↑ ↗
← N 80.419365°
W 31.574707°		 ← 101.67 m → N 80.419365°
W 31.569214°		 →
↑
101.62 m
↓
↑
101.62 m
↓
N 80.418451°
W 31.574707°		 ← 101.68 m →
10 332 m²		 N 80.418451°
W 31.569214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412300109863281 y=0.105415344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412300109863281 × 216)
    floor (0.412300109863281 × 65536)
    floor (27020.5)     		tx = 27020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105415344238281 × 216)
    floor (0.105415344238281 × 65536)
    floor (6908.5)     		ty = 6908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27020 / 6908 ti = "16/27020/6908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27020/6908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27020 ÷ 216
    27020 ÷ 65536     		x = 0.41229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6908 ÷ 216
    6908 ÷ 65536     		y = 0.10540771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41229248046875 × 2 - 1) × π
    -0.1754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55108260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10540771484375 × 2 - 1) × π
    0.7891845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4792964483493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55108260} λ = -0.55108260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4792964483493))-π/2
    2×atan(11.9328660762365)-π/2
    2×1.48718951564532-π/2
    2.97437903129065-1.57079632675     		φ = 1.40358270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55108260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.574707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40358270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.419365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27020 KachelY 6908 -0.55108260 1.40358270 -31.574707 80.419365
    Oben rechts KachelX + 1 27021 KachelY 6908 -0.55098672 1.40358270 -31.569214 80.419365
    Unten links KachelX 27020 KachelY + 1 6909 -0.55108260 1.40356675 -31.574707 80.418451
    Unten rechts KachelX + 1 27021 KachelY + 1 6909 -0.55098672 1.40356675 -31.569214 80.418451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40358270-1.40356675) × R
    1.59500000000978e-05 × 6371000     		dl = 101.617450000623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40358270-1.40356675) × R
    1.59500000000978e-05 × 6371000     		dr = 101.617450000623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55108260--0.55098672) × cos(1.40358270) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.16643548887972 × 6371000     		do = 101.667364706634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55108260--0.55098672) × cos(1.40356675) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.16645121639346 × 6371000     		du = 101.676971881678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40358270)-sin(1.40356675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16643548887972-0.16645121639346)×R²
    abs(-0.55098672--0.55108260)×1.57275137391555e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.57275137391555e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.57275137391555e-05×40589641000000     		ar = 10331.6664784089m²