Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2702 / 1456
↖ ↑ ↗
← N 81.361287°
W120.629883°		 ← 366.98 m → N 81.361287°
W120.607910°		 →
↑
367.10 m
↓
↑
367.10 m
↓
N 81.357986°
W120.629883°		 ← 367.12 m →
134 742 m²		 N 81.357986°
W120.607910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164947509765625 y=0.088897705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164947509765625 × 214)
    floor (0.164947509765625 × 16384)
    floor (2702.5)     		tx = 2702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.088897705078125 × 214)
    floor (0.088897705078125 × 16384)
    floor (1456.5)     		ty = 1456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2702 / 1456 ti = "14/2702/1456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2702/1456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2702 ÷ 214
    2702 ÷ 16384     		x = 0.1649169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1456 ÷ 214
    1456 ÷ 16384     		y = 0.0888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1649169921875 × 2 - 1) × π
    -0.670166015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10538863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0888671875 × 2 - 1) × π
    0.822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58322364672559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10538863} λ = -2.10538863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58322364672559))-π/2
    2×atan(13.2397497162751)-π/2
    2×1.49540933657084-π/2
    2.99081867314168-1.57079632675     		φ = 1.42002235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10538863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.629883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42002235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.361287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2702 KachelY 1456 -2.10538863 1.42002235 -120.629883 81.361287
    Oben rechts KachelX + 1 2703 KachelY 1456 -2.10500514 1.42002235 -120.607910 81.361287
    Unten links KachelX 2702 KachelY + 1 1457 -2.10538863 1.41996473 -120.629883 81.357986
    Unten rechts KachelX + 1 2703 KachelY + 1 1457 -2.10500514 1.41996473 -120.607910 81.357986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42002235-1.41996473) × R
    5.76199999999805e-05 × 6371000     		dl = 367.097019999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42002235-1.41996473) × R
    5.76199999999805e-05 × 6371000     		dr = 367.097019999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10538863--2.10500514) × cos(1.42002235) × R
    0.000383490000000375 × 0.150203373507267 × 6371000     		do = 366.979103661209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10538863--2.10500514) × cos(1.41996473) × R
    0.000383490000000375 × 0.150260339565916 × 6371000     		du = 367.118283978227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42002235)-sin(1.41996473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150203373507267-0.150260339565916)×R²
    abs(-2.10500514--2.10538863)×5.69660586487164e-05×R²
    0.000383490000000375×5.69660586487164e-05×6371000²
    0.000383490000000375×5.69660586487164e-05×40589641000000     		ar = 134742.481733359m²