Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27019 / 8034
↖ ↑ ↗
← N 79.333186°
W 31.580200°		 ← 113.06 m → N 79.333186°
W 31.574707°		 →
↑
113.09 m
↓
↑
113.09 m
↓
N 79.332169°
W 31.580200°		 ← 113.07 m →
12 785 m²		 N 79.332169°
W 31.574707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412284851074219 y=0.122596740722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412284851074219 × 216)
    floor (0.412284851074219 × 65536)
    floor (27019.5)     		tx = 27019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122596740722656 × 216)
    floor (0.122596740722656 × 65536)
    floor (8034.5)     		ty = 8034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27019 / 8034 ti = "16/27019/8034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27019/8034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27019 ÷ 216
    27019 ÷ 65536     		x = 0.412277221679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8034 ÷ 216
    8034 ÷ 65536     		y = 0.122589111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412277221679688 × 2 - 1) × π
    -0.175445556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55117847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122589111328125 × 2 - 1) × π
    0.75482177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37134255040494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55117847} λ = -0.55117847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37134255040494))-π/2
    2×atan(10.7117637174821)-π/2
    2×1.47771081331767-π/2
    2.95542162663534-1.57079632675     		φ = 1.38462530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55117847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.580200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38462530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.333186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27019 KachelY 8034 -0.55117847 1.38462530 -31.580200 79.333186
    Oben rechts KachelX + 1 27020 KachelY 8034 -0.55108260 1.38462530 -31.574707 79.333186
    Unten links KachelX 27019 KachelY + 1 8035 -0.55117847 1.38460755 -31.580200 79.332169
    Unten rechts KachelX + 1 27020 KachelY + 1 8035 -0.55108260 1.38460755 -31.574707 79.332169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38462530-1.38460755) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dl = 113.085250000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38462530-1.38460755) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dr = 113.085250000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55117847--0.55108260) × cos(1.38462530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185097451828861 × 6371000     		do = 113.05525983523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55117847--0.55108260) × cos(1.38460755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185114895082726 × 6371000     		du = 113.06591396136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38462530)-sin(1.38460755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185097451828861-0.185114895082726)×R²
    abs(-0.55108260--0.55117847)×1.74432538652125e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74432538652125e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74432538652125e-05×40589641000000     		ar = 12785.4847350234m²