Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27019 / 8032
↖ ↑ ↗
← N 79.335219°
W 31.580200°		 ← 113.03 m → N 79.335219°
W 31.574707°		 →
↑
113.02 m
↓
↑
113.02 m
↓
N 79.334203°
W 31.580200°		 ← 113.04 m →
12 776 m²		 N 79.334203°
W 31.574707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412284851074219 y=0.122566223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412284851074219 × 216)
    floor (0.412284851074219 × 65536)
    floor (27019.5)     		tx = 27019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122566223144531 × 216)
    floor (0.122566223144531 × 65536)
    floor (8032.5)     		ty = 8032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27019 / 8032 ti = "16/27019/8032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27019/8032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27019 ÷ 216
    27019 ÷ 65536     		x = 0.412277221679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8032 ÷ 216
    8032 ÷ 65536     		y = 0.12255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412277221679688 × 2 - 1) × π
    -0.175445556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55117847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12255859375 × 2 - 1) × π
    0.7548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37153429800342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55117847} λ = -0.55117847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37153429800342))-π/2
    2×atan(10.7138178693834)-π/2
    2×1.47772855764175-π/2
    2.9554571152835-1.57079632675     		φ = 1.38466079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55117847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.580200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38466079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.335219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27019 KachelY 8032 -0.55117847 1.38466079 -31.580200 79.335219
    Oben rechts KachelX + 1 27020 KachelY 8032 -0.55108260 1.38466079 -31.574707 79.335219
    Unten links KachelX 27019 KachelY + 1 8033 -0.55117847 1.38464305 -31.580200 79.334203
    Unten rechts KachelX + 1 27020 KachelY + 1 8033 -0.55108260 1.38464305 -31.574707 79.334203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38466079-1.38464305) × R
    1.77400000000993e-05 × 6371000     		dl = 113.021540000633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38466079-1.38464305) × R
    1.77400000000993e-05 × 6371000     		dr = 113.021540000633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55117847--0.55108260) × cos(1.38466079) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185062574973451 × 6371000     		do = 113.03395747849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55117847--0.55108260) × cos(1.38464305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185080008516678 × 6371000     		du = 113.044605673481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38466079)-sin(1.38464305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185062574973451-0.185080008516678)×R²
    abs(-0.55108260--0.55117847)×1.7433543226919e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7433543226919e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7433543226919e-05×40589641000000     		ar = 12775.8736845739m²