Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27017 / 9351
↖ ↑ ↗
← N 77.907616°
W 31.591187°		 ← 127.95 m → N 77.907616°
W 31.585694°		 →
↑
127.99 m
↓
↑
127.99 m
↓
N 77.906465°
W 31.591187°		 ← 127.97 m →
16 378 m²		 N 77.906465°
W 31.585694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412254333496094 y=0.142692565917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412254333496094 × 216)
    floor (0.412254333496094 × 65536)
    floor (27017.5)     		tx = 27017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142692565917969 × 216)
    floor (0.142692565917969 × 65536)
    floor (9351.5)     		ty = 9351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27017 / 9351 ti = "16/27017/9351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27017/9351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27017 ÷ 216
    27017 ÷ 65536     		x = 0.412246704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9351 ÷ 216
    9351 ÷ 65536     		y = 0.142684936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412246704101562 × 2 - 1) × π
    -0.175506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55137022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142684936523438 × 2 - 1) × π
    0.714630126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24507675680571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55137022} λ = -0.55137022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24507675680571))-π/2
    2×atan(9.44114020041336)-π/2
    2×1.46527037217092-π/2
    2.93054074434184-1.57079632675     		φ = 1.35974442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55137022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.591187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35974442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.907616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27017 KachelY 9351 -0.55137022 1.35974442 -31.591187 77.907616
    Oben rechts KachelX + 1 27018 KachelY 9351 -0.55127435 1.35974442 -31.585694 77.907616
    Unten links KachelX 27017 KachelY + 1 9352 -0.55137022 1.35972433 -31.591187 77.906465
    Unten rechts KachelX + 1 27018 KachelY + 1 9352 -0.55127435 1.35972433 -31.585694 77.906465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35974442-1.35972433) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dl = 127.993390000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35974442-1.35972433) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dr = 127.993390000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55137022--0.55127435) × cos(1.35974442) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209488581689935 × 6371000     		do = 127.953063650856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55137022--0.55127435) × cos(1.35972433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209508225872522 × 6371000     		du = 127.965062077331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35974442)-sin(1.35972433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209488581689935-0.209508225872522)×R²
    abs(-0.55127435--0.55137022)×1.96441825870419e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.96441825870419e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.96441825870419e-05×40589641000000     		ar = 16377.9142375739m²