Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27017 / 8033
↖ ↑ ↗
← N 79.334203°
W 31.591187°		 ← 113.04 m → N 79.334203°
W 31.585694°		 →
↑
113.09 m
↓
↑
113.09 m
↓
N 79.333186°
W 31.591187°		 ← 113.06 m →
12 784 m²		 N 79.333186°
W 31.585694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412254333496094 y=0.122581481933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412254333496094 × 216)
    floor (0.412254333496094 × 65536)
    floor (27017.5)     		tx = 27017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122581481933594 × 216)
    floor (0.122581481933594 × 65536)
    floor (8033.5)     		ty = 8033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27017 / 8033 ti = "16/27017/8033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27017/8033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27017 ÷ 216
    27017 ÷ 65536     		x = 0.412246704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8033 ÷ 216
    8033 ÷ 65536     		y = 0.122573852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412246704101562 × 2 - 1) × π
    -0.175506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55137022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122573852539062 × 2 - 1) × π
    0.754852294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37143842420418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55137022} λ = -0.55137022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37143842420418))-π/2
    2×atan(10.7127907441979)-π/2
    2×1.47771968589767-π/2
    2.95543937179533-1.57079632675     		φ = 1.38464305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55137022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.591187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38464305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.334203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27017 KachelY 8033 -0.55137022 1.38464305 -31.591187 79.334203
    Oben rechts KachelX + 1 27018 KachelY 8033 -0.55127435 1.38464305 -31.585694 79.334203
    Unten links KachelX 27017 KachelY + 1 8034 -0.55137022 1.38462530 -31.591187 79.333186
    Unten rechts KachelX + 1 27018 KachelY + 1 8034 -0.55127435 1.38462530 -31.585694 79.333186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38464305-1.38462530) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dl = 113.085250000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38464305-1.38462530) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dr = 113.085250000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55137022--0.55127435) × cos(1.38464305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185080008516678 × 6371000     		do = 113.044605673481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55137022--0.55127435) × cos(1.38462530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185097451828861 × 6371000     		du = 113.05525983523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38464305)-sin(1.38462530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185080008516678-0.185097451828861)×R²
    abs(-0.55127435--0.55137022)×1.74433121825079e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74433121825079e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74433121825079e-05×40589641000000     		ar = 12784.2799082695m²