Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27017 / 25057
↖ ↑ ↗
← S 68.532256°
E116.817627°		 ← 447.09 m → S 68.532256°
E116.828613°		 →
↑
447.05 m
↓
↑
447.05 m
↓
S 68.536276°
E116.817627°		 ← 447.01 m →
199 856 m²		 S 68.536276°
E116.828613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824508666992188 y=0.764694213867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824508666992188 × 215)
    floor (0.824508666992188 × 32768)
    floor (27017.5)     		tx = 27017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764694213867188 × 215)
    floor (0.764694213867188 × 32768)
    floor (25057.5)     		ty = 25057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27017 / 25057 ti = "15/27017/25057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27017/25057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27017 ÷ 215
    27017 ÷ 32768     		x = 0.824493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25057 ÷ 215
    25057 ÷ 32768     		y = 0.764678955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824493408203125 × 2 - 1) × π
    0.64898681640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03885221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764678955078125 × 2 - 1) × π
    -0.52935791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66302692161899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03885221} λ = 2.03885221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66302692161899))-π/2
    2×atan(0.189564314484698)-π/2
    2×0.187341407664131-π/2
    0.374682815328261-1.57079632675     		φ = -1.19611351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03885221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.817627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19611351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.532256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27017 KachelY 25057 2.03885221 -1.19611351 116.817627 -68.532256
    Oben rechts KachelX + 1 27018 KachelY 25057 2.03904396 -1.19611351 116.828613 -68.532256
    Unten links KachelX 27017 KachelY + 1 25058 2.03885221 -1.19618368 116.817627 -68.536276
    Unten rechts KachelX + 1 27018 KachelY + 1 25058 2.03904396 -1.19618368 116.828613 -68.536276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19611351--1.19618368) × R
    7.01700000000915e-05 × 6371000     		dl = 447.053070000583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19611351--1.19618368) × R
    7.01700000000915e-05 × 6371000     		dr = 447.053070000583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03885221-2.03904396) × cos(-1.19611351) × R
    0.000191749999999935 × 0.365977369276647 × 6371000     		do = 447.092318919945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03885221-2.03904396) × cos(-1.19618368) × R
    0.000191749999999935 × 0.365912066507116 × 6371000     		du = 447.012542493552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19611351)-sin(-1.19618368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365977369276647-0.365912066507116)×R²
    abs(2.03904396-2.03885221)×6.53027695309283e-05×R²
    0.000191749999999935×6.53027695309283e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.53027695309283e-05×40589641000000     		ar = 199856.161681024m²