Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27015 / 7508
↖ ↑ ↗
← N 79.854964°
W 31.602173°		 ← 107.60 m → N 79.854964°
W 31.596680°		 →
↑
107.61 m
↓
↑
107.61 m
↓
N 79.853996°
W 31.602173°		 ← 107.61 m →
11 579 m²		 N 79.853996°
W 31.596680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412223815917969 y=0.114570617675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412223815917969 × 216)
    floor (0.412223815917969 × 65536)
    floor (27015.5)     		tx = 27015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114570617675781 × 216)
    floor (0.114570617675781 × 65536)
    floor (7508.5)     		ty = 7508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27015 / 7508 ti = "16/27015/7508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27015/7508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27015 ÷ 216
    27015 ÷ 65536     		x = 0.412216186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7508 ÷ 216
    7508 ÷ 65536     		y = 0.11456298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412216186523438 × 2 - 1) × π
    -0.175567626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55156197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11456298828125 × 2 - 1) × π
    0.7708740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42177216880524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55156197} λ = -0.55156197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42177216880524))-π/2
    2×atan(11.2658065456573)-π/2
    2×1.48226418459812-π/2
    2.96452836919623-1.57079632675     		φ = 1.39373204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55156197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.602173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39373204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.854964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27015 KachelY 7508 -0.55156197 1.39373204 -31.602173 79.854964
    Oben rechts KachelX + 1 27016 KachelY 7508 -0.55146609 1.39373204 -31.596680 79.854964
    Unten links KachelX 27015 KachelY + 1 7509 -0.55156197 1.39371515 -31.602173 79.853996
    Unten rechts KachelX + 1 27016 KachelY + 1 7509 -0.55146609 1.39371515 -31.596680 79.853996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39373204-1.39371515) × R
    1.68899999999361e-05 × 6371000     		dl = 107.606189999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39373204-1.39371515) × R
    1.68899999999361e-05 × 6371000     		dr = 107.606189999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55156197--0.55146609) × cos(1.39373204) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.176140523179122 × 6371000     		do = 107.595699271871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55156197--0.55146609) × cos(1.39371515) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.176157149079387 × 6371000     		du = 107.605855227653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39373204)-sin(1.39371515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176140523179122-0.176157149079387)×R²
    abs(-0.55146609--0.55156197)×1.66259002645219e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.66259002645219e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.66259002645219e-05×40589641000000     		ar = 11578.5096811397m²