Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27013 / 8035
↖ ↑ ↗
← N 79.332169°
W 31.613159°		 ← 113.07 m → N 79.332169°
W 31.607666°		 →
↑
113.09 m
↓
↑
113.09 m
↓
N 79.331152°
W 31.613159°		 ← 113.08 m →
12 787 m²		 N 79.331152°
W 31.607666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412193298339844 y=0.122611999511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412193298339844 × 216)
    floor (0.412193298339844 × 65536)
    floor (27013.5)     		tx = 27013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122611999511719 × 216)
    floor (0.122611999511719 × 65536)
    floor (8035.5)     		ty = 8035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27013 / 8035 ti = "16/27013/8035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27013/8035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27013 ÷ 216
    27013 ÷ 65536     		x = 0.412185668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8035 ÷ 216
    8035 ÷ 65536     		y = 0.122604370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412185668945312 × 2 - 1) × π
    -0.175628662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55175371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122604370117188 × 2 - 1) × π
    0.754791259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3712466766057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55175371} λ = -0.55175371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3712466766057))-π/2
    2×atan(10.7107367892265)-π/2
    2×1.47770193990169-π/2
    2.95540387980338-1.57079632675     		φ = 1.38460755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55175371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.613159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38460755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.332169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27013 KachelY 8035 -0.55175371 1.38460755 -31.613159 79.332169
    Oben rechts KachelX + 1 27014 KachelY 8035 -0.55165784 1.38460755 -31.607666 79.332169
    Unten links KachelX 27013 KachelY + 1 8036 -0.55175371 1.38458980 -31.613159 79.331152
    Unten rechts KachelX + 1 27014 KachelY + 1 8036 -0.55165784 1.38458980 -31.607666 79.331152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38460755-1.38458980) × R
    1.77499999998165e-05 × 6371000     		dl = 113.085249998831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38460755-1.38458980) × R
    1.77499999998165e-05 × 6371000     		dr = 113.085249998831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55175371--0.55165784) × cos(1.38460755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185114895082726 × 6371000     		do = 113.06591396136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55175371--0.55165784) × cos(1.38458980) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185132338278268 × 6371000     		du = 113.076568051867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38460755)-sin(1.38458980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185114895082726-0.185132338278268)×R²
    abs(-0.55165784--0.55175371)×1.74431955422549e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74431955422549e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74431955422549e-05×40589641000000     		ar = 12786.6895570251m²