Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27013 / 7507
↖ ↑ ↗
← N 79.855931°
W 31.613159°		 ← 107.57 m → N 79.855931°
W 31.607666°		 →
↑
107.61 m
↓
↑
107.61 m
↓
N 79.854964°
W 31.613159°		 ← 107.58 m →
11 576 m²		 N 79.854964°
W 31.607666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412193298339844 y=0.114555358886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412193298339844 × 216)
    floor (0.412193298339844 × 65536)
    floor (27013.5)     		tx = 27013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114555358886719 × 216)
    floor (0.114555358886719 × 65536)
    floor (7507.5)     		ty = 7507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27013 / 7507 ti = "16/27013/7507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27013/7507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27013 ÷ 216
    27013 ÷ 65536     		x = 0.412185668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7507 ÷ 216
    7507 ÷ 65536     		y = 0.114547729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412185668945312 × 2 - 1) × π
    -0.175628662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55175371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114547729492188 × 2 - 1) × π
    0.770904541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42186804260448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55175371} λ = -0.55175371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42186804260448))-π/2
    2×atan(11.2668866931105)-π/2
    2×1.48227262783016-π/2
    2.96454525566032-1.57079632675     		φ = 1.39374893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55175371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.613159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39374893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.855931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27013 KachelY 7507 -0.55175371 1.39374893 -31.613159 79.855931
    Oben rechts KachelX + 1 27014 KachelY 7507 -0.55165784 1.39374893 -31.607666 79.855931
    Unten links KachelX 27013 KachelY + 1 7508 -0.55175371 1.39373204 -31.613159 79.854964
    Unten rechts KachelX + 1 27014 KachelY + 1 7508 -0.55165784 1.39373204 -31.607666 79.854964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39374893-1.39373204) × R
    1.68900000001582e-05 × 6371000     		dl = 107.606190001008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39374893-1.39373204) × R
    1.68900000001582e-05 × 6371000     		dr = 107.606190001008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55175371--0.55165784) × cos(1.39374893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176123897228609 × 6371000     		do = 107.574322431969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55175371--0.55165784) × cos(1.39373204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176140523179122 × 6371000     		du = 107.584477359207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39374893)-sin(1.39373204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176123897228609-0.176140523179122)×R²
    abs(-0.55165784--0.55175371)×1.66259505127164e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.66259505127164e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.66259505127164e-05×40589641000000     		ar = 11576.2093457444m²