Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27012 / 6278
↖ ↑ ↗
← N 80.978522°
W 31.618652°		 ← 95.78 m → N 80.978522°
W 31.613159°		 →
↑
95.82 m
↓
↑
95.82 m
↓
N 80.977660°
W 31.618652°		 ← 95.79 m →
9 178 m²		 N 80.977660°
W 31.613159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412178039550781 y=0.0958023071289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412178039550781 × 216)
    floor (0.412178039550781 × 65536)
    floor (27012.5)     		tx = 27012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0958023071289062 × 216)
    floor (0.0958023071289062 × 65536)
    floor (6278.5)     		ty = 6278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27012 / 6278 ti = "16/27012/6278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27012/6278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27012 ÷ 216
    27012 ÷ 65536     		x = 0.41217041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6278 ÷ 216
    6278 ÷ 65536     		y = 0.095794677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41217041015625 × 2 - 1) × π
    -0.1756591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55184959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095794677734375 × 2 - 1) × π
    0.80841064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53969694187058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55184959} λ = -0.55184959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53969694187058))-π/2
    2×atan(12.6758288756862)-π/2
    2×1.49206907650584-π/2
    2.98413815301168-1.57079632675     		φ = 1.41334183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55184959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.618652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41334183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.978522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27012 KachelY 6278 -0.55184959 1.41334183 -31.618652 80.978522
    Oben rechts KachelX + 1 27013 KachelY 6278 -0.55175371 1.41334183 -31.613159 80.978522
    Unten links KachelX 27012 KachelY + 1 6279 -0.55184959 1.41332679 -31.618652 80.977660
    Unten rechts KachelX + 1 27013 KachelY + 1 6279 -0.55175371 1.41332679 -31.613159 80.977660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41334183-1.41332679) × R
    1.50400000000772e-05 × 6371000     		dl = 95.8198400004919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41334183-1.41332679) × R
    1.50400000000772e-05 × 6371000     		dr = 95.8198400004919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55184959--0.55175371) × cos(1.41334183) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.156804702956326 × 6371000     		do = 95.7843848718803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55184959--0.55175371) × cos(1.41332679) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.156819556888219 × 6371000     		du = 95.7934584181609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41334183)-sin(1.41332679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156804702956326-0.156819556888219)×R²
    abs(-0.55175371--0.55184959)×1.4853931892933e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.4853931892933e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.4853931892933e-05×40589641000000     		ar = 9178.47914599525m²