Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27011 / 6302
↖ ↑ ↗
← N 80.957825°
W 31.624145°		 ← 95.99 m → N 80.957825°
W 31.618652°		 →
↑
96.01 m
↓
↑
96.01 m
↓
N 80.956962°
W 31.624145°		 ← 96 m →
9 217 m²		 N 80.956962°
W 31.618652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412162780761719 y=0.0961685180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412162780761719 × 216)
    floor (0.412162780761719 × 65536)
    floor (27011.5)     		tx = 27011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0961685180664062 × 216)
    floor (0.0961685180664062 × 65536)
    floor (6302.5)     		ty = 6302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27011 / 6302 ti = "16/27011/6302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27011/6302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27011 ÷ 216
    27011 ÷ 65536     		x = 0.412155151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6302 ÷ 216
    6302 ÷ 65536     		y = 0.096160888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412155151367188 × 2 - 1) × π
    -0.175689697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55194546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096160888671875 × 2 - 1) × π
    0.80767822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53739597068881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55194546} λ = -0.55194546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53739597068881))-π/2
    2×atan(12.6466956889037)-π/2
    2×1.49188846981684-π/2
    2.98377693963368-1.57079632675     		φ = 1.41298061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55194546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.624145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41298061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.957825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27011 KachelY 6302 -0.55194546 1.41298061 -31.624145 80.957825
    Oben rechts KachelX + 1 27012 KachelY 6302 -0.55184959 1.41298061 -31.618652 80.957825
    Unten links KachelX 27011 KachelY + 1 6303 -0.55194546 1.41296554 -31.624145 80.956962
    Unten rechts KachelX + 1 27012 KachelY + 1 6303 -0.55184959 1.41296554 -31.618652 80.956962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41298061-1.41296554) × R
    1.50699999998949e-05 × 6371000     		dl = 96.0109699993303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41298061-1.41296554) × R
    1.50699999998949e-05 × 6371000     		dr = 96.0109699993303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55194546--0.55184959) × cos(1.41298061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157161444293418 × 6371000     		do = 95.9922880899538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55194546--0.55184959) × cos(1.41296554) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157176326999537 × 6371000     		du = 96.0013782648361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41298061)-sin(1.41296554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157161444293418-0.157176326999537)×R²
    abs(-0.55184959--0.55194546)×1.48827061195456e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48827061195456e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48827061195456e-05×40589641000000     		ar = 9216.74907036426m²