Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27010 / 8022
↖ ↑ ↗
← N 79.345380°
W 31.629639°		 ← 112.94 m → N 79.345380°
W 31.624145°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
N 79.344364°
W 31.629639°		 ← 112.95 m →
12 758 m²		 N 79.344364°
W 31.624145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412147521972656 y=0.122413635253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412147521972656 × 216)
    floor (0.412147521972656 × 65536)
    floor (27010.5)     		tx = 27010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122413635253906 × 216)
    floor (0.122413635253906 × 65536)
    floor (8022.5)     		ty = 8022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27010 / 8022 ti = "16/27010/8022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27010/8022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27010 ÷ 216
    27010 ÷ 65536     		x = 0.412139892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8022 ÷ 216
    8022 ÷ 65536     		y = 0.122406005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412139892578125 × 2 - 1) × π
    -0.17572021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55204134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122406005859375 × 2 - 1) × π
    0.75518798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37249303599582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55204134} λ = -0.55204134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37249303599582))-π/2
    2×atan(10.7240945391482)-π/2
    2×1.4778172291241-π/2
    2.9556344582482-1.57079632675     		φ = 1.38483813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55204134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.629639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38483813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.345380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27010 KachelY 8022 -0.55204134 1.38483813 -31.629639 79.345380
    Oben rechts KachelX + 1 27011 KachelY 8022 -0.55194546 1.38483813 -31.624145 79.345380
    Unten links KachelX 27010 KachelY + 1 8023 -0.55204134 1.38482040 -31.629639 79.344364
    Unten rechts KachelX + 1 27011 KachelY + 1 8023 -0.55194546 1.38482040 -31.624145 79.344364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38483813-1.38482040) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dl = 112.957829999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38483813-1.38482040) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dr = 112.957829999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55204134--0.55194546) × cos(1.38483813) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.184888295304429 × 6371000     		do = 112.939288821444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55204134--0.55194546) × cos(1.38482040) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.184905719602055 × 6371000     		du = 112.949932479437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38483813)-sin(1.38482040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184888295304429-0.184905719602055)×R²
    abs(-0.55194546--0.55204134)×1.74242976264116e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.74242976264116e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.74242976264116e-05×40589641000000     		ar = 12757.9781298859m²