Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27010 / 25062
↖ ↑ ↗
← S 68.552351°
E116.740723°		 ← 446.69 m → S 68.552351°
E116.751709°		 →
↑
446.67 m
↓
↑
446.67 m
↓
S 68.556368°
E116.740723°		 ← 446.61 m →
199 507 m²		 S 68.556368°
E116.751709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824295043945312 y=0.764846801757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824295043945312 × 215)
    floor (0.824295043945312 × 32768)
    floor (27010.5)     		tx = 27010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764846801757812 × 215)
    floor (0.764846801757812 × 32768)
    floor (25062.5)     		ty = 25062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27010 / 25062 ti = "15/27010/25062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27010/25062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27010 ÷ 215
    27010 ÷ 32768     		x = 0.82427978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25062 ÷ 215
    25062 ÷ 32768     		y = 0.76483154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82427978515625 × 2 - 1) × π
    0.6485595703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03750998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76483154296875 × 2 - 1) × π
    -0.5296630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66398565961139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03750998} λ = 2.03750998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66398565961139))-π/2
    2×atan(0.189382659068287)-π/2
    2×0.187166047706085-π/2
    0.374332095412171-1.57079632675     		φ = -1.19646423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03750998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.740723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19646423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.552351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27010 KachelY 25062 2.03750998 -1.19646423 116.740723 -68.552351
    Oben rechts KachelX + 1 27011 KachelY 25062 2.03770173 -1.19646423 116.751709 -68.552351
    Unten links KachelX 27010 KachelY + 1 25063 2.03750998 -1.19653434 116.740723 -68.556368
    Unten rechts KachelX + 1 27011 KachelY + 1 25063 2.03770173 -1.19653434 116.751709 -68.556368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19646423--1.19653434) × R
    7.01100000000121e-05 × 6371000     		dl = 446.670810000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19646423--1.19653434) × R
    7.01100000000121e-05 × 6371000     		dr = 446.670810000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03750998-2.03770173) × cos(-1.19646423) × R
    0.000191750000000379 × 0.365650958413094 × 6371000     		do = 446.693562598437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03750998-2.03770173) × cos(-1.19653434) × R
    0.000191750000000379 × 0.365585702488334 × 6371000     		du = 446.613843399454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19646423)-sin(-1.19653434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365650958413094-0.365585702488334)×R²
    abs(2.03770173-2.03750998)×6.52559247605322e-05×R²
    0.000191750000000379×6.52559247605322e-05×6371000²
    0.000191750000000379×6.52559247605322e-05×40589641000000     		ar = 199507.171390332m²