Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2701 / 1124
↖ ↑ ↗
← N 82.390794°
W120.651856°		 ← 323.53 m → N 82.390794°
W120.629883°		 →
↑
323.58 m
↓
↑
323.58 m
↓
N 82.387884°
W120.651856°		 ← 323.65 m →
104 708 m²		 N 82.387884°
W120.629883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164886474609375 y=0.068634033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164886474609375 × 214)
    floor (0.164886474609375 × 16384)
    floor (2701.5)     		tx = 2701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.068634033203125 × 214)
    floor (0.068634033203125 × 16384)
    floor (1124.5)     		ty = 1124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2701 / 1124 ti = "14/2701/1124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2701/1124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2701 ÷ 214
    2701 ÷ 16384     		x = 0.16485595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1124 ÷ 214
    1124 ÷ 16384     		y = 0.068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16485595703125 × 2 - 1) × π
    -0.6702880859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10577213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.068603515625 × 2 - 1) × π
    0.86279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.71054405211646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10577213} λ = -2.10577213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.71054405211646))-π/2
    2×atan(15.0374544487094)-π/2
    2×1.50439347970354-π/2
    3.00878695940708-1.57079632675     		φ = 1.43799063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10577213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.651856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43799063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.390794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2701 KachelY 1124 -2.10577213 1.43799063 -120.651856 82.390794
    Oben rechts KachelX + 1 2702 KachelY 1124 -2.10538863 1.43799063 -120.629883 82.390794
    Unten links KachelX 2701 KachelY + 1 1125 -2.10577213 1.43793984 -120.651856 82.387884
    Unten rechts KachelX + 1 2702 KachelY + 1 1125 -2.10538863 1.43793984 -120.629883 82.387884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43799063-1.43793984) × R
    5.07899999999673e-05 × 6371000     		dl = 323.583089999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43799063-1.43793984) × R
    5.07899999999673e-05 × 6371000     		dr = 323.583089999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10577213--2.10538863) × cos(1.43799063) × R
    0.00038349999999987 × 0.132415650761445 × 6371000     		do = 323.528312568839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10577213--2.10538863) × cos(1.43793984) × R
    0.00038349999999987 × 0.132465993347979 × 6371000     		du = 323.65131352815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43799063)-sin(1.43793984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132415650761445-0.132465993347979)×R²
    abs(-2.10538863--2.10577213)×5.03425865331641e-05×R²
    0.00038349999999987×5.03425865331641e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.03425865331641e-05×40589641000000     		ar = 104708.19162009m²