Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27009 / 9402
↖ ↑ ↗
← N 77.848787°
W 31.635132°		 ← 128.57 m → N 77.848787°
W 31.629639°		 →
↑
128.57 m
↓
↑
128.57 m
↓
N 77.847631°
W 31.635132°		 ← 128.58 m →
16 530 m²		 N 77.847631°
W 31.629639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412132263183594 y=0.143470764160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412132263183594 × 216)
    floor (0.412132263183594 × 65536)
    floor (27009.5)     		tx = 27009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143470764160156 × 216)
    floor (0.143470764160156 × 65536)
    floor (9402.5)     		ty = 9402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27009 / 9402 ti = "16/27009/9402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27009/9402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27009 ÷ 216
    27009 ÷ 65536     		x = 0.412124633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9402 ÷ 216
    9402 ÷ 65536     		y = 0.143463134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412124633789062 × 2 - 1) × π
    -0.175750732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55213721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143463134765625 × 2 - 1) × π
    0.71307373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24018719304446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55213721} λ = -0.55213721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24018719304446))-π/2
    2×atan(9.39508981831138)-π/2
    2×1.46475699209119-π/2
    2.92951398418237-1.57079632675     		φ = 1.35871766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55213721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.635132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35871766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.848787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27009 KachelY 9402 -0.55213721 1.35871766 -31.635132 77.848787
    Oben rechts KachelX + 1 27010 KachelY 9402 -0.55204134 1.35871766 -31.629639 77.848787
    Unten links KachelX 27009 KachelY + 1 9403 -0.55213721 1.35869748 -31.635132 77.847631
    Unten rechts KachelX + 1 27010 KachelY + 1 9403 -0.55204134 1.35869748 -31.629639 77.847631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35871766-1.35869748) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dl = 128.566779999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35871766-1.35869748) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dr = 128.566779999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55213721--0.55204134) × cos(1.35871766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210492448406464 × 6371000     		do = 128.566213164021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55213721--0.55204134) × cos(1.35869748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210512176240458 × 6371000     		du = 128.578262683753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35871766)-sin(1.35869748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210492448406464-0.210512176240458)×R²
    abs(-0.55204134--0.55213721)×1.97278339939266e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.97278339939266e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.97278339939266e-05×40589641000000     		ar = 16530.118627551m²