Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27007 / 8043
↖ ↑ ↗
← N 79.324031°
W 31.646118°		 ← 113.16 m → N 79.324031°
W 31.640625°		 →
↑
113.15 m
↓
↑
113.15 m
↓
N 79.323014°
W 31.646118°		 ← 113.17 m →
12 805 m²		 N 79.323014°
W 31.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412101745605469 y=0.122734069824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412101745605469 × 216)
    floor (0.412101745605469 × 65536)
    floor (27007.5)     		tx = 27007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122734069824219 × 216)
    floor (0.122734069824219 × 65536)
    floor (8043.5)     		ty = 8043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27007 / 8043 ti = "16/27007/8043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27007/8043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27007 ÷ 216
    27007 ÷ 65536     		x = 0.412094116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8043 ÷ 216
    8043 ÷ 65536     		y = 0.122726440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412094116210938 × 2 - 1) × π
    -0.175811767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55232896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122726440429688 × 2 - 1) × π
    0.754547119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37047968621178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55232896} λ = -0.55232896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37047968621178))-π/2
    2×atan(10.7025249066174)-π/2
    2×1.47763092246913-π/2
    2.95526184493827-1.57079632675     		φ = 1.38446552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55232896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.646118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38446552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.324031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27007 KachelY 8043 -0.55232896 1.38446552 -31.646118 79.324031
    Oben rechts KachelX + 1 27008 KachelY 8043 -0.55223308 1.38446552 -31.640625 79.324031
    Unten links KachelX 27007 KachelY + 1 8044 -0.55232896 1.38444776 -31.646118 79.323014
    Unten rechts KachelX + 1 27008 KachelY + 1 8044 -0.55223308 1.38444776 -31.640625 79.323014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38446552-1.38444776) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dl = 113.148959999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38446552-1.38444776) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dr = 113.148959999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55232896--0.55223308) × cos(1.38446552) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185254468494284 × 6371000     		do = 113.162966256273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55232896--0.55223308) × cos(1.38444776) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185271921049821 × 6371000     		du = 113.173627175652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38446552)-sin(1.38444776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185254468494284-0.185271921049821)×R²
    abs(-0.55223308--0.55232896)×1.74525555367566e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.74525555367566e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.74525555367566e-05×40589641000000     		ar = 12804.8750790306m²