Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27007 / 6604
↖ ↑ ↗
← N 80.693342°
W 31.646118°		 ← 98.79 m → N 80.693342°
W 31.640625°		 →
↑
98.75 m
↓
↑
98.75 m
↓
N 80.692454°
W 31.646118°		 ← 98.80 m →
9 756 m²		 N 80.692454°
W 31.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412101745605469 y=0.100776672363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412101745605469 × 216)
    floor (0.412101745605469 × 65536)
    floor (27007.5)     		tx = 27007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100776672363281 × 216)
    floor (0.100776672363281 × 65536)
    floor (6604.5)     		ty = 6604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27007 / 6604 ti = "16/27007/6604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27007/6604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27007 ÷ 216
    27007 ÷ 65536     		x = 0.412094116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6604 ÷ 216
    6604 ÷ 65536     		y = 0.10076904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412094116210938 × 2 - 1) × π
    -0.175811767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55232896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10076904296875 × 2 - 1) × π
    0.7984619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5084420833183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55232896} λ = -0.55232896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5084420833183))-π/2
    2×atan(12.2857749296252)-π/2
    2×1.48958041947607-π/2
    2.97916083895214-1.57079632675     		φ = 1.40836451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55232896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.646118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40836451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.693342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27007 KachelY 6604 -0.55232896 1.40836451 -31.646118 80.693342
    Oben rechts KachelX + 1 27008 KachelY 6604 -0.55223308 1.40836451 -31.640625 80.693342
    Unten links KachelX 27007 KachelY + 1 6605 -0.55232896 1.40834901 -31.646118 80.692454
    Unten rechts KachelX + 1 27008 KachelY + 1 6605 -0.55223308 1.40834901 -31.640625 80.692454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40836451-1.40834901) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dl = 98.7504999996567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40836451-1.40834901) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dr = 98.7504999996567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55232896--0.55223308) × cos(1.40836451) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.161718489053672 × 6371000     		do = 98.7859783817344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55232896--0.55223308) × cos(1.40834901) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.16173378500669 × 6371000     		du = 98.7953219372737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40836451)-sin(1.40834901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161718489053672-0.16173378500669)×R²
    abs(-0.55223308--0.55232896)×1.52959530184404e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.52959530184404e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.52959530184404e-05×40589641000000     		ar = 9755.62609839422m²