Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27006 / 10412
↖ ↑ ↗
← N 54.699233°
E116.696777°		 ← 705.95 m → N 54.699233°
E116.707764°		 →
↑
705.97 m
↓
↑
705.97 m
↓
N 54.692884°
E116.696777°		 ← 706.06 m →
498 417 m²		 N 54.692884°
E116.707764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824172973632812 y=0.317764282226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824172973632812 × 215)
    floor (0.824172973632812 × 32768)
    floor (27006.5)     		tx = 27006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317764282226562 × 215)
    floor (0.317764282226562 × 32768)
    floor (10412.5)     		ty = 10412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27006 / 10412 ti = "15/27006/10412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27006/10412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27006 ÷ 215
    27006 ÷ 32768     		x = 0.82415771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10412 ÷ 215
    10412 ÷ 32768     		y = 0.3177490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82415771484375 × 2 - 1) × π
    0.6483154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03674299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3177490234375 × 2 - 1) × π
    0.364501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1451166581239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03674299} λ = 2.03674299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1451166581239))-π/2
    2×atan(3.14280796953608)-π/2
    2×1.26273902508263-π/2
    2.52547805016526-1.57079632675     		φ = 0.95468172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03674299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.696777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95468172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.699233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27006 KachelY 10412 2.03674299 0.95468172 116.696777 54.699233
    Oben rechts KachelX + 1 27007 KachelY 10412 2.03693474 0.95468172 116.707764 54.699233
    Unten links KachelX 27006 KachelY + 1 10413 2.03674299 0.95457091 116.696777 54.692884
    Unten rechts KachelX + 1 27007 KachelY + 1 10413 2.03693474 0.95457091 116.707764 54.692884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95468172-0.95457091) × R
    0.000110809999999906 × 6371000     		dl = 705.970509999399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95468172-0.95457091) × R
    0.000110809999999906 × 6371000     		dr = 705.970509999399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03674299-2.03693474) × cos(0.95468172) × R
    0.000191749999999935 × 0.577868544939017 × 6371000     		do = 705.946895837653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03674299-2.03693474) × cos(0.95457091) × R
    0.000191749999999935 × 0.577958976740591 × 6371000     		du = 706.057370875904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95468172)-sin(0.95457091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577868544939017-0.577958976740591)×R²
    abs(2.03693474-2.03674299)×9.04318015738648e-05×R²
    0.000191749999999935×9.04318015738648e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.04318015738648e-05×40589641000000     		ar = 498416.686656611m²