Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27005 / 7510
↖ ↑ ↗
← N 79.853028°
W 31.657105°		 ← 107.62 m → N 79.853028°
W 31.651611°		 →
↑
107.61 m
↓
↑
107.61 m
↓
N 79.852060°
W 31.657105°		 ← 107.63 m →
11 581 m²		 N 79.852060°
W 31.651611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412071228027344 y=0.114601135253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412071228027344 × 216)
    floor (0.412071228027344 × 65536)
    floor (27005.5)     		tx = 27005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114601135253906 × 216)
    floor (0.114601135253906 × 65536)
    floor (7510.5)     		ty = 7510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27005 / 7510 ti = "16/27005/7510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27005/7510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27005 ÷ 216
    27005 ÷ 65536     		x = 0.412063598632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7510 ÷ 216
    7510 ÷ 65536     		y = 0.114593505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412063598632812 × 2 - 1) × π
    -0.175872802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55252071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114593505859375 × 2 - 1) × π
    0.77081298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42158042120676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55252071} λ = -0.55252071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42158042120676))-π/2
    2×atan(11.2636465613998)-π/2
    2×1.48224729574336-π/2
    2.96449459148671-1.57079632675     		φ = 1.39369826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55252071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.657105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39369826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.853028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27005 KachelY 7510 -0.55252071 1.39369826 -31.657105 79.853028
    Oben rechts KachelX + 1 27006 KachelY 7510 -0.55242483 1.39369826 -31.651611 79.853028
    Unten links KachelX 27005 KachelY + 1 7511 -0.55252071 1.39368137 -31.657105 79.852060
    Unten rechts KachelX + 1 27006 KachelY + 1 7511 -0.55242483 1.39368137 -31.651611 79.852060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39369826-1.39368137) × R
    1.68900000001582e-05 × 6371000     		dl = 107.606190001008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39369826-1.39368137) × R
    1.68900000001582e-05 × 6371000     		dr = 107.606190001008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55252071--0.55242483) × cos(1.39369826) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.176173774929398 × 6371000     		do = 107.616011152864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55252071--0.55242483) × cos(1.39368137) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.176190400729153 × 6371000     		du = 107.62616704725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39369826)-sin(1.39368137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176173774929398-0.176190400729153)×R²
    abs(-0.55242483--0.55252071)×1.66257997545327e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.66257997545327e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.66257997545327e-05×40589641000000     		ar = 11580.6953618865m²