Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27004 / 6780
↖ ↑ ↗
← N 80.535685°
W 31.662598°		 ← 100.43 m → N 80.535685°
W 31.657105°		 →
↑
100.47 m
↓
↑
100.47 m
↓
N 80.534782°
W 31.662598°		 ← 100.44 m →
10 091 m²		 N 80.534782°
W 31.657105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412055969238281 y=0.103462219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412055969238281 × 216)
    floor (0.412055969238281 × 65536)
    floor (27004.5)     		tx = 27004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103462219238281 × 216)
    floor (0.103462219238281 × 65536)
    floor (6780.5)     		ty = 6780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27004 / 6780 ti = "16/27004/6780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27004/6780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27004 ÷ 216
    27004 ÷ 65536     		x = 0.41204833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6780 ÷ 216
    6780 ÷ 65536     		y = 0.10345458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41204833984375 × 2 - 1) × π
    -0.1759033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55261658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10345458984375 × 2 - 1) × π
    0.7930908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49156829465204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55261658} λ = -0.55261658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49156829465204))-π/2
    2×atan(12.0802065956827)-π/2
    2×1.4882045963131-π/2
    2.97640919262621-1.57079632675     		φ = 1.40561287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55261658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.662598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40561287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.535685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27004 KachelY 6780 -0.55261658 1.40561287 -31.662598 80.535685
    Oben rechts KachelX + 1 27005 KachelY 6780 -0.55252071 1.40561287 -31.657105 80.535685
    Unten links KachelX 27004 KachelY + 1 6781 -0.55261658 1.40559710 -31.662598 80.534782
    Unten rechts KachelX + 1 27005 KachelY + 1 6781 -0.55252071 1.40559710 -31.657105 80.534782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40561287-1.40559710) × R
    1.57699999998595e-05 × 6371000     		dl = 100.470669999105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40561287-1.40559710) × R
    1.57699999998595e-05 × 6371000     		dr = 100.470669999105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55261658--0.55252071) × cos(1.40561287) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164433293375294 × 6371000     		do = 100.43384457445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55261658--0.55252071) × cos(1.40559710) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164448848696848 × 6371000     		du = 100.443345574613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40561287)-sin(1.40559710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164433293375294-0.164448848696848)×R²
    abs(-0.55252071--0.55261658)×1.55553215538951e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.55553215538951e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.55553215538951e-05×40589641000000     		ar = 10091.1329412185m²