Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27004 / 10413
↖ ↑ ↗
← N 54.692884°
E116.674805°		 ← 706.02 m → N 54.692884°
E116.685791°		 →
↑
706.10 m
↓
↑
706.10 m
↓
N 54.686534°
E116.674805°		 ← 706.13 m →
498 559 m²		 N 54.686534°
E116.685791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824111938476562 y=0.317794799804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824111938476562 × 215)
    floor (0.824111938476562 × 32768)
    floor (27004.5)     		tx = 27004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317794799804688 × 215)
    floor (0.317794799804688 × 32768)
    floor (10413.5)     		ty = 10413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27004 / 10413 ti = "15/27004/10413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27004/10413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27004 ÷ 215
    27004 ÷ 32768     		x = 0.8240966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10413 ÷ 215
    10413 ÷ 32768     		y = 0.317779541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8240966796875 × 2 - 1) × π
    0.648193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03635950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317779541015625 × 2 - 1) × π
    0.36444091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14492491052542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03635950} λ = 2.03635950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14492491052542))-π/2
    2×atan(3.14220540142778)-π/2
    2×1.26268361829492-π/2
    2.52536723658985-1.57079632675     		φ = 0.95457091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03635950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.674805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95457091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.692884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27004 KachelY 10413 2.03635950 0.95457091 116.674805 54.692884
    Oben rechts KachelX + 1 27005 KachelY 10413 2.03655124 0.95457091 116.685791 54.692884
    Unten links KachelX 27004 KachelY + 1 10414 2.03635950 0.95446008 116.674805 54.686534
    Unten rechts KachelX + 1 27005 KachelY + 1 10414 2.03655124 0.95446008 116.685791 54.686534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95457091-0.95446008) × R
    0.000110830000000006 × 6371000     		dl = 706.097930000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95457091-0.95446008) × R
    0.000110830000000006 × 6371000     		dr = 706.097930000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03635950-2.03655124) × cos(0.95457091) × R
    0.000191739999999996 × 0.577958976740591 × 6371000     		do = 706.020549109719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03635950-2.03655124) × cos(0.95446008) × R
    0.000191739999999996 × 0.578049417765525 × 6371000     		du = 706.131029653591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95457091)-sin(0.95446008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577958976740591-0.578049417765525)×R²
    abs(2.03655124-2.03635950)×9.04410249340515e-05×R²
    0.000191739999999996×9.04410249340515e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.04410249340515e-05×40589641000000     		ar = 498558.653815404m²