Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27003 / 6324
↖ ↑ ↗
← N 80.938813°
W 31.668091°		 ← 96.19 m → N 80.938813°
W 31.662598°		 →
↑
96.20 m
↓
↑
96.20 m
↓
N 80.937948°
W 31.668091°		 ← 96.20 m →
9 254 m²		 N 80.937948°
W 31.662598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412040710449219 y=0.0965042114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412040710449219 × 216)
    floor (0.412040710449219 × 65536)
    floor (27003.5)     		tx = 27003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0965042114257812 × 216)
    floor (0.0965042114257812 × 65536)
    floor (6324.5)     		ty = 6324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27003 / 6324 ti = "16/27003/6324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27003/6324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27003 ÷ 216
    27003 ÷ 65536     		x = 0.412033081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6324 ÷ 216
    6324 ÷ 65536     		y = 0.09649658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412033081054688 × 2 - 1) × π
    -0.175933837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55271245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09649658203125 × 2 - 1) × π
    0.8070068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53528674710553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55271245} λ = -0.55271245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53528674710553))-π/2
    2×atan(12.6200490918004)-π/2
    2×1.49172255276688-π/2
    2.98344510553375-1.57079632675     		φ = 1.41264878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55271245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.668091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41264878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.938813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27003 KachelY 6324 -0.55271245 1.41264878 -31.668091 80.938813
    Oben rechts KachelX + 1 27004 KachelY 6324 -0.55261658 1.41264878 -31.662598 80.938813
    Unten links KachelX 27003 KachelY + 1 6325 -0.55271245 1.41263368 -31.668091 80.937948
    Unten rechts KachelX + 1 27004 KachelY + 1 6325 -0.55261658 1.41263368 -31.662598 80.937948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41264878-1.41263368) × R
    1.51000000001567e-05 × 6371000     		dl = 96.202100000998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41264878-1.41263368) × R
    1.51000000001567e-05 × 6371000     		dr = 96.202100000998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55271245--0.55261658) × cos(1.41264878) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157489141958196 × 6371000     		do = 96.1924418158581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55271245--0.55261658) × cos(1.41263368) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157504053503096 × 6371000     		du = 96.2015496051147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41264878)-sin(1.41263368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157489141958196-0.157504053503096)×R²
    abs(-0.55261658--0.55271245)×1.49115448997428e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49115448997428e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49115448997428e-05×40589641000000     		ar = 9254.3530013309m²