Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27002 / 6789
↖ ↑ ↗
← N 80.527552°
W 31.673584°		 ← 100.53 m → N 80.527552°
W 31.668091°		 →
↑
100.53 m
↓
↑
100.53 m
↓
N 80.526648°
W 31.673584°		 ← 100.54 m →
10 107 m²		 N 80.526648°
W 31.668091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412025451660156 y=0.103599548339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412025451660156 × 216)
    floor (0.412025451660156 × 65536)
    floor (27002.5)     		tx = 27002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103599548339844 × 216)
    floor (0.103599548339844 × 65536)
    floor (6789.5)     		ty = 6789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27002 / 6789 ti = "16/27002/6789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27002/6789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27002 ÷ 216
    27002 ÷ 65536     		x = 0.412017822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6789 ÷ 216
    6789 ÷ 65536     		y = 0.103591918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412017822265625 × 2 - 1) × π
    -0.17596435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55280833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103591918945312 × 2 - 1) × π
    0.792816162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49070543045888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55280833} λ = -0.55280833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49070543045888))-π/2
    2×atan(12.0697875137381)-π/2
    2×1.48813362431253-π/2
    2.97626724862506-1.57079632675     		φ = 1.40547092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55280833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.673584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40547092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.527552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27002 KachelY 6789 -0.55280833 1.40547092 -31.673584 80.527552
    Oben rechts KachelX + 1 27003 KachelY 6789 -0.55271245 1.40547092 -31.668091 80.527552
    Unten links KachelX 27002 KachelY + 1 6790 -0.55280833 1.40545514 -31.673584 80.526648
    Unten rechts KachelX + 1 27003 KachelY + 1 6790 -0.55271245 1.40545514 -31.668091 80.526648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40547092-1.40545514) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dl = 100.534380000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40547092-1.40545514) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dr = 100.534380000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55280833--0.55271245) × cos(1.40547092) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.164573309523951 × 6371000     		do = 100.529849691138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55280833--0.55271245) × cos(1.40545514) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.164588874340861 × 6371000     		du = 100.539357482583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40547092)-sin(1.40545514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164573309523951-0.164588874340861)×R²
    abs(-0.55271245--0.55280833)×1.55648169100908e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.55648169100908e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.55648169100908e-05×40589641000000     		ar = 10107.1840405496m²