Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27000 / 7992
↖ ↑ ↗
← N 79.375806°
W 31.684570°		 ← 112.61 m → N 79.375806°
W 31.679077°		 →
↑
112.64 m
↓
↑
112.64 m
↓
N 79.374793°
W 31.684570°		 ← 112.62 m →
12 685 m²		 N 79.374793°
W 31.679077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411994934082031 y=0.121955871582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411994934082031 × 216)
    floor (0.411994934082031 × 65536)
    floor (27000.5)     		tx = 27000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121955871582031 × 216)
    floor (0.121955871582031 × 65536)
    floor (7992.5)     		ty = 7992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27000 / 7992 ti = "16/27000/7992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27000/7992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27000 ÷ 216
    27000 ÷ 65536     		x = 0.4119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7992 ÷ 216
    7992 ÷ 65536     		y = 0.1219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55300007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1219482421875 × 2 - 1) × π
    0.756103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37536924997302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55300007} λ = -0.55300007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37536924997302))-π/2
    2×atan(10.7549837304219)-π/2
    2×1.47808274282828-π/2
    2.95616548565655-1.57079632675     		φ = 1.38536916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55300007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.684570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38536916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.375806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27000 KachelY 7992 -0.55300007 1.38536916 -31.684570 79.375806
    Oben rechts KachelX + 1 27001 KachelY 7992 -0.55290420 1.38536916 -31.679077 79.375806
    Unten links KachelX 27000 KachelY + 1 7993 -0.55300007 1.38535148 -31.684570 79.374793
    Unten rechts KachelX + 1 27001 KachelY + 1 7993 -0.55290420 1.38535148 -31.679077 79.374793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38536916-1.38535148) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dl = 112.639280000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38536916-1.38535148) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dr = 112.639280000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55300007--0.55290420) × cos(1.38536916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184366394460544 × 6371000     		do = 112.608738935494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55300007--0.55290420) × cos(1.38535148) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184383771353833 × 6371000     		du = 112.619352529395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38536916)-sin(1.38535148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184366394460544-0.184383771353833)×R²
    abs(-0.55290420--0.55300007)×1.73768932888729e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73768932888729e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73768932888729e-05×40589641000000     		ar = 12684.7650298867m²