Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27000 / 6617
↖ ↑ ↗
← N 80.681787°
W 31.684570°		 ← 98.90 m → N 80.681787°
W 31.679077°		 →
↑
98.94 m
↓
↑
98.94 m
↓
N 80.680897°
W 31.684570°		 ← 98.91 m →
9 786 m²		 N 80.680897°
W 31.679077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411994934082031 y=0.100975036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411994934082031 × 216)
    floor (0.411994934082031 × 65536)
    floor (27000.5)     		tx = 27000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100975036621094 × 216)
    floor (0.100975036621094 × 65536)
    floor (6617.5)     		ty = 6617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27000 / 6617 ti = "16/27000/6617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27000/6617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27000 ÷ 216
    27000 ÷ 65536     		x = 0.4119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6617 ÷ 216
    6617 ÷ 65536     		y = 0.100967407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55300007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100967407226562 × 2 - 1) × π
    0.798065185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50719572392818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55300007} λ = -0.55300007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50719572392818))-π/2
    2×atan(12.270471977147)-π/2
    2×1.48947957779681-π/2
    2.97895915559362-1.57079632675     		φ = 1.40816283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55300007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.684570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40816283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.681787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27000 KachelY 6617 -0.55300007 1.40816283 -31.684570 80.681787
    Oben rechts KachelX + 1 27001 KachelY 6617 -0.55290420 1.40816283 -31.679077 80.681787
    Unten links KachelX 27000 KachelY + 1 6618 -0.55300007 1.40814730 -31.684570 80.680897
    Unten rechts KachelX + 1 27001 KachelY + 1 6618 -0.55290420 1.40814730 -31.679077 80.680897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40816283-1.40814730) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dl = 98.9416299999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40816283-1.40814730) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dr = 98.9416299999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55300007--0.55290420) × cos(1.40816283) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161917511035827 × 6371000     		do = 98.8972354895208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55300007--0.55290420) × cos(1.40814730) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161932836087025 × 6371000     		du = 98.9065958433675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40816283)-sin(1.40814730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161917511035827-0.161932836087025)×R²
    abs(-0.55290420--0.55300007)×1.53250511985281e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.53250511985281e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.53250511985281e-05×40589641000000     		ar = 9785.51674625291m²