Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27000 / 25060
↖ ↑ ↗
← S 68.544315°
E116.630860°		 ← 446.83 m → S 68.544315°
E116.641846°		 →
↑
446.80 m
↓
↑
446.80 m
↓
S 68.548333°
E116.630860°		 ← 446.75 m →
199 625 m²		 S 68.548333°
E116.641846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823989868164062 y=0.764785766601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823989868164062 × 215)
    floor (0.823989868164062 × 32768)
    floor (27000.5)     		tx = 27000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764785766601562 × 215)
    floor (0.764785766601562 × 32768)
    floor (25060.5)     		ty = 25060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27000 / 25060 ti = "15/27000/25060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27000/25060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27000 ÷ 215
    27000 ÷ 32768     		x = 0.823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25060 ÷ 215
    25060 ÷ 32768     		y = 0.7647705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823974609375 × 2 - 1) × π
    0.64794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03559251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7647705078125 × 2 - 1) × π
    -0.529541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66360216441443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03559251} λ = 2.03559251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66360216441443))-π/2
    2×atan(0.189455300336326)-π/2
    2×0.18723617291323-π/2
    0.374472345826461-1.57079632675     		φ = -1.19632398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03559251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.630860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19632398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.544315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27000 KachelY 25060 2.03559251 -1.19632398 116.630860 -68.544315
    Oben rechts KachelX + 1 27001 KachelY 25060 2.03578425 -1.19632398 116.641846 -68.544315
    Unten links KachelX 27000 KachelY + 1 25061 2.03559251 -1.19639411 116.630860 -68.548333
    Unten rechts KachelX + 1 27001 KachelY + 1 25061 2.03578425 -1.19639411 116.641846 -68.548333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19632398--1.19639411) × R
    7.01299999998906e-05 × 6371000     		dl = 446.798229999303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19632398--1.19639411) × R
    7.01299999998906e-05 × 6371000     		dr = 446.798229999303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03559251-2.03578425) × cos(-1.19632398) × R
    0.000191739999999996 × 0.365781492791342 × 6371000     		do = 446.829724578579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03559251-2.03578425) × cos(-1.19639411) × R
    0.000191739999999996 × 0.365716221847793 × 6371000     		du = 446.749991190468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19632398)-sin(-1.19639411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365781492791342-0.365716221847793)×R²
    abs(2.03578425-2.03559251)×6.52709435481902e-05×R²
    0.000191739999999996×6.52709435481902e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.52709435481902e-05×40589641000000     		ar = 199624.917766373m²