Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2700 / 5852
↖ ↑ ↗
← S 60.844910°
W 61.347656°		 ← 2 380.58 m → S 60.844910°
W 61.303711°		 →
↑
2 379.82 m
↓
↑
2 379.82 m
↓
S 60.866313°
W 61.347656°		 ← 2 378.98 m →
5 663 460 m²		 S 60.866313°
W 61.303711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.32965087890625 y=0.71441650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.32965087890625 × 213)
    floor (0.32965087890625 × 8192)
    floor (2700.5)     		tx = 2700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71441650390625 × 213)
    floor (0.71441650390625 × 8192)
    floor (5852.5)     		ty = 5852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2700 / 5852 ti = "13/2700/5852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2700/5852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2700 ÷ 213
    2700 ÷ 8192     		x = 0.32958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5852 ÷ 213
    5852 ÷ 8192     		y = 0.71435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32958984375 × 2 - 1) × π
    -0.3408203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.07071859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71435546875 × 2 - 1) × π
    -0.4287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.3468351317251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.07071859} λ = -1.07071859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3468351317251))-π/2
    2×atan(0.260062021619081)-π/2
    2×0.254426152110981-π/2
    0.508852304221961-1.57079632675     		φ = -1.06194402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.07071859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -61.347656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06194402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.844910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2700 KachelY 5852 -1.07071859 -1.06194402 -61.347656 -60.844910
    Oben rechts KachelX + 1 2701 KachelY 5852 -1.06995160 -1.06194402 -61.303711 -60.844910
    Unten links KachelX 2700 KachelY + 1 5853 -1.07071859 -1.06231756 -61.347656 -60.866313
    Unten rechts KachelX + 1 2701 KachelY + 1 5853 -1.06995160 -1.06231756 -61.303711 -60.866313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06194402--1.06231756) × R
    0.000373540000000006 × 6371000     		dl = 2379.82334000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06194402--1.06231756) × R
    0.000373540000000006 × 6371000     		dr = 2379.82334000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.07071859--1.06995160) × cos(-1.06194402) × R
    0.000766990000000023 × 0.48717528264816 × 6371000     		do = 2380.57874971416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.07071859--1.06995160) × cos(-1.06231756) × R
    0.000766990000000023 × 0.486849034612676 × 6371000     		du = 2378.98454087789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06194402)-sin(-1.06231756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48717528264816-0.486849034612676)×R²
    abs(-1.06995160--1.07071859)×0.000326248035484922×R²
    0.000766990000000023×0.000326248035484922×6371000²
    0.000766990000000023×0.000326248035484922×40589641000000     		ar = 5663459.96943138m²