Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 270 / 797
↖ ↑ ↗
← N 37.020098°
W132.539063°		 ← 15.606 km → N 37.020098°
W132.363281°		 →
↑
15.620 km
↓
↑
15.620 km
↓
N 36.879621°
W132.539063°		 ← 15.635 km →
243.996 km²		 N 36.879621°
W132.363281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.132080078125 y=0.389404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.132080078125 × 211)
    floor (0.132080078125 × 2048)
    floor (270.5)     		tx = 270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.389404296875 × 211)
    floor (0.389404296875 × 2048)
    floor (797.5)     		ty = 797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 270 / 797 ti = "11/270/797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/270/797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 270 ÷ 211
    270 ÷ 2048     		x = 0.1318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 797 ÷ 211
    797 ÷ 2048     		y = 0.38916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1318359375 × 2 - 1) × π
    -0.736328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31324303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38916015625 × 2 - 1) × π
    0.2216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.696427277680176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31324303} λ = -2.31324303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.696427277680176))-π/2
    2×atan(2.00657096505079)-π/2
    2×1.10845946490225-π/2
    2.21691892980451-1.57079632675     		φ = 0.64612260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31324303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.539063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.64612260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 37.020098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 270 KachelY 797 -2.31324303 0.64612260 -132.539063 37.020098
    Oben rechts KachelX + 1 271 KachelY 797 -2.31017507 0.64612260 -132.363281 37.020098
    Unten links KachelX 270 KachelY + 1 798 -2.31324303 0.64367081 -132.539063 36.879621
    Unten rechts KachelX + 1 271 KachelY + 1 798 -2.31017507 0.64367081 -132.363281 36.879621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.64612260-0.64367081) × R
    0.00245178999999995 × 6371000     		dl = 15620.3540899997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.64612260-0.64367081) × R
    0.00245178999999995 × 6371000     		dr = 15620.3540899997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31324303--2.31017507) × cos(0.64612260) × R
    0.00306796000000009 × 0.798424358192631 × 6371000     		do = 15605.9810755239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31324303--2.31017507) × cos(0.64367081) × R
    0.00306796000000009 × 0.79989816775706 × 6371000     		du = 15634.7881177131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.64612260)-sin(0.64367081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.798424358192631-0.79989816775706)×R²
    abs(-2.31017507--2.31324303)×0.00147380956442866×R²
    0.00306796000000009×0.00147380956442866×6371000²
    0.00306796000000009×0.00147380956442866×40589641000000     		ar = 243996060.648439m²