Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 270 / 122
↖ ↑ ↗
← N 82.809512°
W132.539063°		 ← 2 446.54 m → N 82.809512°
W132.363281°		 →
↑
2 450.29 m
↓
↑
2 450.29 m
↓
N 82.787476°
W132.539063°		 ← 2 454 m →
6 003 863 m²		 N 82.787476°
W132.363281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.132080078125 y=0.059814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.132080078125 × 211)
    floor (0.132080078125 × 2048)
    floor (270.5)     		tx = 270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.059814453125 × 211)
    floor (0.059814453125 × 2048)
    floor (122.5)     		ty = 122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 270 / 122 ti = "11/270/122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/270/122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 270 ÷ 211
    270 ÷ 2048     		x = 0.1318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 122 ÷ 211
    122 ÷ 2048     		y = 0.0595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1318359375 × 2 - 1) × π
    -0.736328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31324303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0595703125 × 2 - 1) × π
    0.880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.7673013412666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31324303} λ = -2.31324303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7673013412666))-π/2
    2×atan(15.9156251619537)-π/2
    2×1.50804747637599-π/2
    3.01609495275198-1.57079632675     		φ = 1.44529863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31324303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.539063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44529863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.809512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 270 KachelY 122 -2.31324303 1.44529863 -132.539063 82.809512
    Oben rechts KachelX + 1 271 KachelY 122 -2.31017507 1.44529863 -132.363281 82.809512
    Unten links KachelX 270 KachelY + 1 123 -2.31324303 1.44491403 -132.539063 82.787476
    Unten rechts KachelX + 1 271 KachelY + 1 123 -2.31017507 1.44491403 -132.363281 82.787476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44529863-1.44491403) × R
    0.000384599999999846 × 6371000     		dl = 2450.28659999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44529863-1.44491403) × R
    0.000384599999999846 × 6371000     		dr = 2450.28659999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31324303--2.31017507) × cos(1.44529863) × R
    0.00306796000000009 × 0.125168531522629 × 6371000     		do = 2446.54075761799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31324303--2.31017507) × cos(1.44491403) × R
    0.00306796000000009 × 0.125550097566978 × 6371000     		du = 2453.99883727961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44529863)-sin(1.44491403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125168531522629-0.125550097566978)×R²
    abs(-2.31017507--2.31324303)×0.00038156604434933×R²
    0.00306796000000009×0.00038156604434933×6371000²
    0.00306796000000009×0.00038156604434933×40589641000000     		ar = 6003863.32507824m²