Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26999 / 7991
↖ ↑ ↗
← N 79.376818°
W 31.690064°		 ← 112.61 m → N 79.376818°
W 31.684570°		 →
↑
112.58 m
↓
↑
112.58 m
↓
N 79.375806°
W 31.690064°		 ← 112.62 m →
12 678 m²		 N 79.375806°
W 31.684570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411979675292969 y=0.121940612792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411979675292969 × 216)
    floor (0.411979675292969 × 65536)
    floor (26999.5)     		tx = 26999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121940612792969 × 216)
    floor (0.121940612792969 × 65536)
    floor (7991.5)     		ty = 7991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26999 / 7991 ti = "16/26999/7991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26999/7991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26999 ÷ 216
    26999 ÷ 65536     		x = 0.411972045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7991 ÷ 216
    7991 ÷ 65536     		y = 0.121932983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411972045898438 × 2 - 1) × π
    -0.176055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55309595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121932983398438 × 2 - 1) × π
    0.756134033203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37546512377226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55309595} λ = -0.55309595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37546512377226))-π/2
    2×atan(10.7560149010032)-π/2
    2×1.47809158036529-π/2
    2.95618316073057-1.57079632675     		φ = 1.38538683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55309595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.690064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38538683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.376818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26999 KachelY 7991 -0.55309595 1.38538683 -31.690064 79.376818
    Oben rechts KachelX + 1 27000 KachelY 7991 -0.55300007 1.38538683 -31.684570 79.376818
    Unten links KachelX 26999 KachelY + 1 7992 -0.55309595 1.38536916 -31.690064 79.375806
    Unten rechts KachelX + 1 27000 KachelY + 1 7992 -0.55300007 1.38536916 -31.684570 79.375806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38538683-1.38536916) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dl = 112.575570000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38538683-1.38536916) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dr = 112.575570000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55309595--0.55300007) × cos(1.38538683) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.184349027338234 × 6371000     		do = 112.609876186177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55309595--0.55300007) × cos(1.38536916) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.184366394460544 × 6371000     		du = 112.620484918544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38538683)-sin(1.38536916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184349027338234-0.184366394460544)×R²
    abs(-0.55300007--0.55309595)×1.73671223102079e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.73671223102079e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.73671223102079e-05×40589641000000     		ar = 12677.7181413414m²