Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26999 / 6611
↖ ↑ ↗
← N 80.687122°
W 31.690064°		 ← 98.85 m → N 80.687122°
W 31.684570°		 →
↑
98.81 m
↓
↑
98.81 m
↓
N 80.686233°
W 31.690064°		 ← 98.86 m →
9 768 m²		 N 80.686233°
W 31.684570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411979675292969 y=0.100883483886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411979675292969 × 216)
    floor (0.411979675292969 × 65536)
    floor (26999.5)     		tx = 26999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100883483886719 × 216)
    floor (0.100883483886719 × 65536)
    floor (6611.5)     		ty = 6611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26999 / 6611 ti = "16/26999/6611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26999/6611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26999 ÷ 216
    26999 ÷ 65536     		x = 0.411972045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6611 ÷ 216
    6611 ÷ 65536     		y = 0.100875854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411972045898438 × 2 - 1) × π
    -0.176055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55309595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100875854492188 × 2 - 1) × π
    0.798248291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.50777096672362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55309595} λ = -0.55309595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50777096672362))-π/2
    2×atan(12.2775325083137)-π/2
    2×1.48952613552238-π/2
    2.97905227104476-1.57079632675     		φ = 1.40825594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55309595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.690064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40825594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.687122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26999 KachelY 6611 -0.55309595 1.40825594 -31.690064 80.687122
    Oben rechts KachelX + 1 27000 KachelY 6611 -0.55300007 1.40825594 -31.684570 80.687122
    Unten links KachelX 26999 KachelY + 1 6612 -0.55309595 1.40824043 -31.690064 80.686233
    Unten rechts KachelX + 1 27000 KachelY + 1 6612 -0.55300007 1.40824043 -31.684570 80.686233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40825594-1.40824043) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dl = 98.8142100006841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40825594-1.40824043) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dr = 98.8142100006841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55309595--0.55300007) × cos(1.40825594) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.161825628986041 × 6371000     		do = 98.8514249681038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55309595--0.55300007) × cos(1.40824043) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.16184093453498 × 6371000     		du = 98.8607743853251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40825594)-sin(1.40824043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161825628986041-0.16184093453498)×R²
    abs(-0.55300007--0.55309595)×1.530554893861e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.530554893861e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.530554893861e-05×40589641000000     		ar = 9768.38739342383m²