Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26998 / 7987
↖ ↑ ↗
← N 79.380869°
W 31.695557°		 ← 112.56 m → N 79.380869°
W 31.690064°		 →
↑
112.58 m
↓
↑
112.58 m
↓
N 79.379856°
W 31.695557°		 ← 112.57 m →
12 672 m²		 N 79.379856°
W 31.690064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411964416503906 y=0.121879577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411964416503906 × 216)
    floor (0.411964416503906 × 65536)
    floor (26998.5)     		tx = 26998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121879577636719 × 216)
    floor (0.121879577636719 × 65536)
    floor (7987.5)     		ty = 7987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26998 / 7987 ti = "16/26998/7987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26998/7987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26998 ÷ 216
    26998 ÷ 65536     		x = 0.411956787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7987 ÷ 216
    7987 ÷ 65536     		y = 0.121871948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411956787109375 × 2 - 1) × π
    -0.17608642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55319182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121871948242188 × 2 - 1) × π
    0.756256103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37584861896922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55319182} λ = -0.55319182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37584861896922))-π/2
    2×atan(10.7601405720931)-π/2
    2×1.47812692218681-π/2
    2.95625384437362-1.57079632675     		φ = 1.38545752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55319182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.695557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38545752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.380869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26998 KachelY 7987 -0.55319182 1.38545752 -31.695557 79.380869
    Oben rechts KachelX + 1 26999 KachelY 7987 -0.55309595 1.38545752 -31.690064 79.380869
    Unten links KachelX 26998 KachelY + 1 7988 -0.55319182 1.38543985 -31.695557 79.379856
    Unten rechts KachelX + 1 26999 KachelY + 1 7988 -0.55309595 1.38543985 -31.690064 79.379856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38545752-1.38543985) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dl = 112.575570000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38545752-1.38543985) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dr = 112.575570000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55319182--0.55309595) × cos(1.38545752) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184279548444718 × 6371000     		do = 112.555694451154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55319182--0.55309595) × cos(1.38543985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184296915797265 × 6371000     		du = 112.566302217687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38545752)-sin(1.38543985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184279548444718-0.184296915797265)×R²
    abs(-0.55309595--0.55319182)×1.73673525466211e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73673525466211e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73673525466211e-05×40589641000000     		ar = 12671.6185475242m²