Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26996 / 9300
↖ ↑ ↗
← N 77.966165°
W 31.706543°		 ← 127.34 m → N 77.966165°
W 31.701050°		 →
↑
127.36 m
↓
↑
127.36 m
↓
N 77.965019°
W 31.706543°		 ← 127.35 m →
16 219 m²		 N 77.965019°
W 31.701050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411933898925781 y=0.141914367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411933898925781 × 216)
    floor (0.411933898925781 × 65536)
    floor (26996.5)     		tx = 26996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141914367675781 × 216)
    floor (0.141914367675781 × 65536)
    floor (9300.5)     		ty = 9300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26996 / 9300 ti = "16/26996/9300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26996/9300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26996 ÷ 216
    26996 ÷ 65536     		x = 0.41192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9300 ÷ 216
    9300 ÷ 65536     		y = 0.14190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41192626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1761474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55338357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14190673828125 × 2 - 1) × π
    0.7161865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24996632056696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55338357} λ = -0.55338357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24996632056696))-π/2
    2×atan(9.48741630017561)-π/2
    2×1.4657813036036-π/2
    2.9315626072072-1.57079632675     		φ = 1.36076628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55338357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.706543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36076628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.966165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26996 KachelY 9300 -0.55338357 1.36076628 -31.706543 77.966165
    Oben rechts KachelX + 1 26997 KachelY 9300 -0.55328770 1.36076628 -31.701050 77.966165
    Unten links KachelX 26996 KachelY + 1 9301 -0.55338357 1.36074629 -31.706543 77.965019
    Unten rechts KachelX + 1 26997 KachelY + 1 9301 -0.55328770 1.36074629 -31.701050 77.965019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36076628-1.36074629) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dl = 127.356289999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36076628-1.36074629) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dr = 127.356289999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55338357--0.55328770) × cos(1.36076628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208489286446293 × 6371000     		do = 127.342706337419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55338357--0.55328770) × cos(1.36074629) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208508837117403 × 6371000     		du = 127.354647648229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36076628)-sin(1.36074629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208489286446293-0.208508837117403)×R²
    abs(-0.55328770--0.55338357)×1.95506711106186e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.95506711106186e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.95506711106186e-05×40589641000000     		ar = 16218.6550386576m²