Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26996 / 6653
↖ ↑ ↗
← N 80.649712°
W 31.706543°		 ← 99.23 m → N 80.649712°
W 31.701050°		 →
↑
99.20 m
↓
↑
99.20 m
↓
N 80.648820°
W 31.706543°		 ← 99.24 m →
9 844 m²		 N 80.648820°
W 31.701050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411933898925781 y=0.101524353027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411933898925781 × 216)
    floor (0.411933898925781 × 65536)
    floor (26996.5)     		tx = 26996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101524353027344 × 216)
    floor (0.101524353027344 × 65536)
    floor (6653.5)     		ty = 6653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26996 / 6653 ti = "16/26996/6653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26996/6653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26996 ÷ 216
    26996 ÷ 65536     		x = 0.41192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6653 ÷ 216
    6653 ÷ 65536     		y = 0.101516723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41192626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1761474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55338357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101516723632812 × 2 - 1) × π
    0.796966552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50374426715553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55338357} λ = -0.55338357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50374426715553))-π/2
    2×atan(12.2281939758548)-π/2
    2×1.489199675774-π/2
    2.97839935154801-1.57079632675     		φ = 1.40760302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55338357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.706543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40760302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.649712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26996 KachelY 6653 -0.55338357 1.40760302 -31.706543 80.649712
    Oben rechts KachelX + 1 26997 KachelY 6653 -0.55328770 1.40760302 -31.701050 80.649712
    Unten links KachelX 26996 KachelY + 1 6654 -0.55338357 1.40758745 -31.706543 80.648820
    Unten rechts KachelX + 1 26997 KachelY + 1 6654 -0.55328770 1.40758745 -31.701050 80.648820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40760302-1.40758745) × R
    1.55699999999648e-05 × 6371000     		dl = 99.1964699997756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40760302-1.40758745) × R
    1.55699999999648e-05 × 6371000     		dr = 99.1964699997756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55338357--0.55328770) × cos(1.40760302) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162469908548765 × 6371000     		do = 99.2346331346018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55338357--0.55328770) × cos(1.40758745) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162485271658248 × 6371000     		du = 99.2440167339833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40760302)-sin(1.40758745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162469908548765-0.162485271658248)×R²
    abs(-0.55328770--0.55338357)×1.53631094830797e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.53631094830797e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.53631094830797e-05×40589641000000     		ar = 9844.19071882599m²