Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26996 / 6588
↖ ↑ ↗
← N 80.707545°
W 31.706543°		 ← 98.63 m → N 80.707545°
W 31.701050°		 →
↑
98.62 m
↓
↑
98.62 m
↓
N 80.706659°
W 31.706543°		 ← 98.64 m →
9 727 m²		 N 80.706659°
W 31.701050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411933898925781 y=0.100532531738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411933898925781 × 216)
    floor (0.411933898925781 × 65536)
    floor (26996.5)     		tx = 26996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100532531738281 × 216)
    floor (0.100532531738281 × 65536)
    floor (6588.5)     		ty = 6588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26996 / 6588 ti = "16/26996/6588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26996/6588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26996 ÷ 216
    26996 ÷ 65536     		x = 0.41192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6588 ÷ 216
    6588 ÷ 65536     		y = 0.10052490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41192626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1761474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55338357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10052490234375 × 2 - 1) × π
    0.7989501953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50997606410614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55338357} λ = -0.55338357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50997606410614))-π/2
    2×atan(12.3046355345354)-π/2
    2×1.48970436216559-π/2
    2.97940872433117-1.57079632675     		φ = 1.40861240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55338357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.706543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40861240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.707545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26996 KachelY 6588 -0.55338357 1.40861240 -31.706543 80.707545
    Oben rechts KachelX + 1 26997 KachelY 6588 -0.55328770 1.40861240 -31.701050 80.707545
    Unten links KachelX 26996 KachelY + 1 6589 -0.55338357 1.40859692 -31.706543 80.706659
    Unten rechts KachelX + 1 26997 KachelY + 1 6589 -0.55328770 1.40859692 -31.701050 80.706659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40861240-1.40859692) × R
    1.54800000000677e-05 × 6371000     		dl = 98.6230800004311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40861240-1.40859692) × R
    1.54800000000677e-05 × 6371000     		dr = 98.6230800004311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55338357--0.55328770) × cos(1.40861240) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161473857080355 × 6371000     		do = 98.6262570794066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55338357--0.55328770) × cos(1.40859692) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161489133916813 × 6371000     		du = 98.6355879842796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40861240)-sin(1.40859692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161473857080355-0.161489133916813)×R²
    abs(-0.55328770--0.55338357)×1.52768364583278e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52768364583278e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52768364583278e-05×40589641000000     		ar = 9727.28536355811m²